[논문 리뷰] Integral Points on Elliptic Curves and the Bombieri-Pila Bounds

Dave Mendes da Costa|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 17.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 높이 이론, 반발력 기법, 그리고 큰 걸러내기 기법을 활용하여 비유리 타원곡선 위의 정수점에 대한 Bombieri-Pila 추정을 향상시킨다. 특히, $ f \in \mathbb{Z}[x] $가 모닉 세차다항식이고 $ c_4 $ 및 $ j $-불변량에 대해 특정 조건을 만족하는 $ y^2 = f(x) $ 형태의 타원곡선의 넓은 가중에서, 크기가 $ N $인 상자 안의 정수점의 수는 $ O(N^{1/3 - \delta}) $로, 어떤 $ \delta > 0 $에 대해 균일하게 성립함을 보인다.

ABSTRACT

Let C be an affine, plane, algebraic curve of degree d with integer coefficients. In 1989, Bombieri and Pila showed that if one takes a box with sides of length N then C can obtain no more than O_{d,ε}(N^{1/d+ε}) integer points within the box. Importantly, the implied constant makes no reference to the coefficients of the curve. Examples of certain rational curves show that this bound is tight but it has long been thought that when restricted to non-rational curves an improvement should be possible whilst maintaining the uniformity of the bound. In this paper we consider this problem restricted to elliptic curves and show that for a large family of these curves the Bombieri-Pila bounds can be improved. The techniques involved include repulsion of integer points, the theory of heights and the large sieve. As an application we prove a uniform bound for the number of rational points of bounded height on a general del Pezzo surface of degree 1.

연구 동기 및 목표

• 비유리 곡선, 특히 타원곡선에 대해 균일한 Bombieri-Pila 추정 $ O_{d,\epsilon}(N^{1/d + \epsilon}) $ 을 향상시키는 것.
• 곡선의 계수에 관계없이, 큰 가중의 타원곡선에 대해 정수점의 수에 대한 균일한 다항식 이하의 추정을 확립하는 것.
• 이러한 추정을 일반적인 1차 델 페조 곡면 위의 유리점으로 확장하여, 균일한 $ O(N^{3 - \delta}) $ 추정을 얻는 것.
• 비유리 곡선, 특히 타원곡선에 대해 Bombieri-Pila 추정이 날카롭지 않음을 보이며, 비현실적인 지수 감소를 구성함으로써 이를 입증하는 것.

제안 방법

• 특히 국소 표준 높이를 포함한 타원곡선 위의 높이 이론을 활용하여 정수점의 분포를 분석한다.
• 정수점의 반발력 기법을 적용하여 점들이 너무 가까이 뭉쳐질 수 없음을 보이며, 모르델-바일 군의 구조를 활용한다.
• 큰 걸러내기 부등식을 사용하여 산술적 등차수열이나 구조적 집합에 속하는 정수점의 수를 통제한다.
• 1차 델 페조 곡면을 특수화하여 얻는 타원곡선의 가중 $ E_{(u,v)} $ 위의 정수점 수를 세는 문제로 문제를 환원한다.
• 특이 섬유(판별식이 0이 되는 곳)에 대해 Bombieri-Pila 추정을 적용하여 기여도가 무시할 만큼 작다는 것을 보이며, $ O(N^{1/12 + \epsilon}) $ 이다.
• 비특이 섬유에 대해 향상된 추정 $ O(N^{1 - \delta}) $ 와 $ (u,v) $ 의 $ O(N^2) $ 가지의 선택을 조합하여 곡면 위의 최종 균일 추정을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비유리 곡선, 특히 타원곡선에 대해 Bombieri-Pila 추정 $ O_{d,\epsilon}(N^{1/d + \epsilon}) $ 을 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 타원곡선 $ y^2 = f(x) $ 에 대해 정수점의 수에 대한 균일한 지수 $ 1/3 - \delta $ 이 존재하는가? 이는 곡선의 계수와 무관하게 성립해야 한다.
• RQ3 타원곡선에 대한 이러한 향상된 추정을 일반적인 1차 델 페조 곡면 위의 높이가 $ \leq N $인 유리점에 대해 균일한 추정을 유도하는 데 사용할 수 있는가?
• RQ4 비영인 $ j $-불변량과 음수인 $ c_4 $-불변량이 존재할 경우, 더 강력한 균일 추정을 얻을 수 있는가?

주요 결과

• 다중근이 없는 $ f \in \mathbb{Z}[x] $인 모닉 세차다항식을 가진 타원곡선 $ y^2 = f(x) $ 에 대해, 크기가 $ N $인 상자 안의 정수점의 수는 어떤 $ \delta > 0 $ 에 대해 $ O(N^{1/3 - \delta}) $ 이며, 이 상수는 모든 이러한 곡선에 대해 균일하다.
• 추가로 $ c_4(E) < 0 $ 및 $ j(E) > \epsilon > 0 $ 라는 조건이 성립할 경우, $ O_\epsilon(N^{1/3 - \delta}) $ 추정이 성립하며, 이때 $ \delta $ 는 곡선에 따라 달라지지 않고 오직 $ \epsilon $ 에만 의존한다.
• 곡선 가중 $ E_{(u,v)} $ 에서 특이 섬유의 수는 $ O_\epsilon(N^{1/12 + \epsilon}) $ 이며, 이는 주항목에 비해 무시할 만큼 작다.
• 일반적인 1차 델 페조 곡면 $ X $ 에 대해, 높이 $ \leq N $ 인 유리점의 수는 어떤 $ \delta > 0 $ 에 대해 $ O(N^{3 - \delta}) $ 이며, 이 상수는 $ X $ 에 대해 균일하다.
• Bombieri-Pila 추정에 대한 향상은 비현실적이며 균일하므로, 비유리 곡선에 대해 이 추정이 날카롭지 않다는 것을 보여준다.