[논문 리뷰] Integral representations for products of two parabolic cylinder functions with different arguments and orders

Dirk Veestraeten|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 01.

Mathematical functions and polynomials참고 문헌 11인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 임의의 차수 ν, μ 및 비음이 아닌 변수 x, y ≥ 0을 가진 두 개의 방사형 원통 함수 Dν(x)Dμ(y) 및 Dν(−x)Dμ(y)의 곱에 대한 새로운 적분 표현을 유도한다. 단일 방사형 원통 함수의 역라플라스 변환에 대한 커플라션 정리를 적용함으로써, 저자들은 곱을 가우스 수열함수와 관련된 레지드레 함수를 통해 표현하며, 이는 보완 오차 함수, 제2종 수정 베셀 함수(차수 1/4), 및 제1종 수정 베셀 함수(차수 1/4)와의 곱 등으로 특수화 가능하게 한다.

ABSTRACT

This paper derives new integral representations for products of two parabolic cylinder functions. In particular, expressions are obtained for D_{nu}(x)D_{mu}(y), with x>0 and y>0, that allow for different orders and arguments in the two parabolic cylinder functions. Also, two integral representations are obtained for D_{nu}(-x)D_{mu}(y) by employing the connection between the parabolic cylinder function and the Kummer confluent hypergeometric function. The integral representations are specialized for products of two complementary error functions and of two modified Bessel functions of the second kind of order 1/4, as well as for the product of a parabolic cylinder function and a modified Bessel function of the first kind of order 1/4.

연구 동기 및 목표

• 독립된 차수 ν, μ 및 비음이 아닌 변수 x, y ≥ 0을 가진 Dν(x)Dμ(y)에 대한 일반적인 적분 표현을 유도하는 것.
• 기존 결과에서 차수나 변수가 선형적으로 관련되거나 동일한 경우에 국한되는 것을 확장하는 것.
• 쿠머 미정적 초함수 표현을 사용하여 Dν(−x)Dμ(y)에 대한 적분 표현을 제공하는 것.
• 보완 오차 함수 및 차수 1/4의 수정 베셀 함수와 같은 알려진 특수 함수로의 특수화를 가능하게 하는 것.
• 선형 제약 조건이 없는 차수와 변수를 가진 이전의 니컬슨 유형 적분을 통합하고 일반화하는 것.

제안 방법

• 기존 자료 [6]에 기반한 단일 방사형 원통 함수의 역라플라스 변환 표현을 바탕으로 커플라션 정리를 적용하는 것.
• Dν(x) 및 Dμ(y)의 역라플라스 변환을 사용하여 유한 구간 위의 커플라션 적분을 포함하는 곱을 구성함으로써 적분 표현을 도출하는 것.
• 라플라스 변환의 성질과 수열함수 항등식을 활용하여 결과 적분의 피적분함수를 가우스 수열함수 2F1로 표현하는 것.
• 기존의 수열함수 항등식을 이용해 피적분함수를 제1종 관련 레지드레 함수로 재구성하는 것.
• 방사형 원통 함수를 두 개의 쿠머 미정적 초함수의 합으로 나누어 Dν(−x)Dμ(y)에 대해 두 개의 서로 다른 표현을 도출하는 것.
• 항등식 Φ(a; 2a; z) = Γ(a+1/2)(z/4)^{1/2−a}exp(z/2)I_{a−1/2}(z/2)를 활용하여 쿠머 함수와 제1종 수정 베셀 함수(차수 a−1/2)를 연결하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 차수 ν, μ와 변수 x, y가 모두 상호의존적이며 선형적으로 관련되지 않은 경우에도 Dν(x)Dμ(y)에 대한 적분 표현을 도출할 수 있는가?
• RQ2 특히 쿠머 함수를 포함하는 알려진 특수 함수 항등식을 통해 Dν(−x)Dμ(y)는 어떻게 표현될 수 있는가?
• RQ3 일반적인 적분 표현을 특정 값 ν와 μ에 적용했을 때, 예를 들어 ν = μ = −1/2 또는 ν = μ = −1일 경우 어떤 특수화가 나타나는가?
• RQ4 적분의 피적분함수가 사인역함수 또는 제1종 완전 타원적분과 같은 알려진 특수 함수로 단순화될 수 있는가?
• RQ5 제한적인 경우에 결과 적분을 단순화하는 데서 관련 레지드레 함수와 비완전 베타 함수의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• x, y ≥ 0 및 임의의 ν, μ에 대해 커플라션 정리를 이용한 역라플라스 변환에 기반하여 Dν(x)Dμ(y)에 대한 적분 표현이 도출되었으며, 이는 가우스 수열함수 2F1를 포함하는 표현을 제공한다.
• Dν(−x)를 두 개의 쿠머 미정적 초함수의 합으로 표현함으로써 Dν(−x)Dμ(y)에 대해 두 개의 서로 다른 적분 표현을 도출하였으며, 이는 각각 Φ(−ν/2; 1/2; z) 및 Φ((1−ν)/2; 3/2; z)를 포함하는 두 형태로 나타난다.
• ν = μ = −1/2일 경우, 곱 D_{−1/2}(x)D_{−1/2}(y)는 차수 1/4의 제2종 수정 베셀 함수 두 개의 곱으로 감소하며, 피적분함수가 제1종 완전 타원적분으로 단순화된다.
• ν = μ = −1일 경우, 곱 D_{−1}(x)D_{−1}(y)는 두 보완 오차 함수의 곱에 대한 적분 표현을 제공하며, 피적분함수는 사인역함수를 포함한다.
• 역라플라스 변환에 μ = −1/2를 대입함으로써 Dν(x)I_{1/4}(y)에 대한 표현을 도출하였으며, 이는 쿠머 함수와 차수 1/4의 제1종 수정 베셀 함수를 연결한다.
• μ = −1인 극한 경우, Dν(−x)erfc(y)에 대한 적분 표현은 비완전 베타 함수 B(a,b; z)를 통해 모든 세 개의 피적분함수로 환원 가능하며, 수열함수 항등식을 통해 유도된다.