[논문 리뷰] Integral right triangle and rhombus pairs with a common area and a common perimeter

Shane Chern|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 09.

Mathematics and Applications참고 문헌 4인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 타원곡선 이론을 사용하여 같은 면적과 둘레를 공유하는 무수히 많은 정수 빗변 삼각형과 θ-정수 뱃모양 평행사변형의 존재를 증명한다. 디오판틴 방정식계를 질량 1인 타원곡선으로 변환함으로써, 저자들은 동차성과 유리수 매개변수화를 통해 유리수 해가 무수히 많은 이러한 쌍을 생성함을 보여준다.

ABSTRACT

We prove that there are infinitely many integral right triangle and $θ$-integral rhombus pairs with a common area and a common perimeter by the theory of elliptic curves.

연구 동기 및 목표

• 같은 면적과 둘레를 가진 무수히 많은 정수 빗변 삼각형과 뱃모양 평행사변형이 존재하는지 조사하기.
• 이전의 빗변 삼각형과 평행사다리형 쌍에 대한 결과를 확장하기 위해 θ-정수성 조건을 더 엄격한 기하적 제약으로 도입하기.
• 유리수 사인과余현을 가지는 유리각이 이러한 기하학적 쌍을 구성하는 데 어떤 역할을 하는지 탐구하기.
• 디오판틴 방정식계와 타원곡선 위의 유리점 사이의 연결고리를 설정하여 수론적 기하학적 구성에 기여하기.

제안 방법

• 매개변수 u (0 < u < 1)를 사용한 표준 피타고라스 삼중항 공식을 통해 유리수 빗변 삼각형을 매개변수화하기.
• 측변 길이 p와 각도 θ를 사용하여 θ-정수 뱃모양 평행사다리형을 모델링하기. 여기서 sinθ와 cosθ는 유리수이며, 매개변수 v (0 < v < 1)를 통해 매개변수화한다.
• 빗변 삼각형과 뱃모양 평행사다리형 간의 공통 면적과 둘레를 동일시하는 디오판틴 방정식계 유도하기.
• p를 시스템에서 제거하여 u와 v에 관한 이변수 이차 디오판틴 방정식을 얻기.
• 디오판틴 방정식을 타원곡선 E: y² − 3xy − 12y = x³ + 6x² + 8x로 이분형 변환하기.
• Magma를 사용하여 E(Q)의 모델-베일 군을 계산하여 질량 1을 확인하고, 생성자 P = (0, 0)와 순환점 T = (−4, 0)를 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 같은 면적과 둘레를 공유하는 무수히 많은 정수 빗변 삼각형과 θ-정수 뱃모양 평행사다리형이 존재하는가?
• RQ2 대수기하학과 타원곡선 위의 유리점들을 사용하여 이러한 쌍의 존재를 확립할 수 있는가?
• RQ3 뱃모양 평행사다리형 각도의 θ-정수성(유리수 사인과 여현)이 이러한 기하학적 일치를 가능하게 하는 역할은 무엇인가?
• RQ4 같은 면적과 둘레 조건에서 유도된 디오판틴 방정식계는 지정된 범위 내에서 무수히 많은 유리수 해를 갖는가?

주요 결과

• 타원곡선 E: y² − 3xy − 12y = x³ + 6x² + 8x는 질량 1인 Mordell-Weil 군 E(Q)를 가지며, 생성자 P = (0, 0)이고, (−4, 0)에 순환점 2차가 존재한다.
• 점 [4]P = (5920/4761, 5576768/328509)는 역변환을 통해 0 < u, v < 1을 만족하는 유리수 해 (u, v) = (552/1105, 483/1264)로 매핑된다.
• 이 해는 구체적인 예를 제공한다: 빗변 삼각형의 변 길이가 1832642, 2439840, 3051458이고, 뱃모양 평행사다리형의 변 길이가 1830985이며 예각이 arcsin(1221024/1830985)인 경우로, 둘 다 면적 2235676628640과 둘레 7323940을 공유한다.
• 레마 2.1(Poincaré-Hurwitz)에 따르면, E(Q)가 무한하고 관련 영역에 유리점이 포함되어 있으므로, 디오판틴 방정식계는 0 < u, v < 1을 만족하는 무수히 많은 유리수 해 (u, v)를 가진다.
• 변 길이의 동차성 덕분에 유리수 해는 무수히 많은 정수 빗변 삼각형과 θ-정수 뱃모양 평행사다리형 쌍을 생성하며, 이는 같은 면적과 둘레를 공유한다.
• 결과적으로, 이는 더 엄격한 θ-정수성 조건 하에서도 이러한 쌍이 무수히 많다는 것을 확인하며, 이전의 평행사다리형과 직사각형에 대한 결과를 확장한다.