[논문 리뷰] Integral structures in the $p$-adic holomorphic discrete series

Elmar Große-Klönne|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 14.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Drinfel'd의 대칭 공간 $X$ 위에서 $p$-진 힐베르트-홀로모르피크 이산 계열 표현에 대해 $\mathrm{GL}_{d+1}(K)$--equivariant $\mathcal{O}_K$-격자 $\mathcal{V}_{\mathcal{O}_K}$를 구축하며, 특정 표현의 범주에 대해 그 코homology가 양의 차수에서 0이 됨을 증명한다. 이 구축은 형식적 모델 $\mathfrak{X}$ 위의 토러스-equivariant 층에 기반하며, 특별한 피복 위에서 $U(K)$-equivariant 벡터(bundle)를 통해 탈락 기법을 이용해 정리의 성립을 확보한다.

ABSTRACT

For a local non-Archimedean field $K$ we construct ${ m GL}_{d+1}(K)$-equivariant coherent sheaves ${\mathcal V}_{{\mathcal O}_K}$ on the formal ${\mathcal O}_K$-scheme ${\mathfrak X}$ underlying the symmetric space $X$ over $K$ of dimension $d$. These ${\mathcal V}_{{\mathcal O}_K}$ are ${\mathcal O}_K$-lattices in (the sheaf version of) the holomorphic discrete series representations (in $K$-vector spaces) of ${ m GL}_{d+1}(K)$ as defined by P. Schneider \cite{schn}. We prove that the cohomology $H^t({\mathfrak X},{\mathcal V}_{{\mathcal O}_K})$ vanishes for $t>0$, for ${\mathcal V}_{{\mathcal O}_K}$ in a certain subclass. The proof is related to the other main topic of this paper: over a finite field $k$, the study of the cohomology of vector bundles on the natural normal crossings compactification $Y$ of the Deligne-Lusztig variety $Y^0$ for ${ m GL}_{d+1}/k$ (so $Y^0$ is the open subscheme of ${\mathbb P}_k^d$ obtained by deleting all its $k$-rational hyperplanes).

연구 동기 및 목표

• Drinfel'd의 대칭 공간 $X$ 위에서 $p$-진 힐베르트-홀로모르피크 이산 계열 표현 내에 $\mathrm{GL}_{d+1}(K)$-equivariant $\mathcal{O}_K$-격자 $\mathcal{V}_{\mathcal{O}_K}$를 구축한다.
• 특정 표현의 하위범주에서 $t > 0$에 대해 $H^t(\mathfrak{X}, \mathcal{V}_{\mathcal{O}_K})$의 고차 코homology 소멸을 확립한다.
• 이전의 $d=1$ 결과를 임의의 $d$로 일반화하여 $p$-진 설정에서의 정수적 구조를 일반화한다.
• 이 정수적 구조의 코homology를 특별한 피복 $\mathfrak{X} \otimes k$ 위의 $U(K)$-equivariant 벡터(bundle)와 연결한다.
• p-진 Langlands 프로그램 및 산술 부분군의 코homology에 응용하기 위한 기초 도구를 제공한다.

제안 방법

• Drinfel'd 대칭 공간인 $X$를 일반층으로 갖는 형식적 $\mathcal{O}_K$-스킴 $\mathfrak{X}$를 구축하며, $G = \mathrm{GL}_{d+1}(K)$-작용을 갖는다.
• G-equivariant 전이 사상으로 $X$ 위의 $G$-equivariant 벡터(bundle) $\mathcal{V}$를 $\mathfrak{X}$ 위의 코herent 층으로 올리기 위해 사용한다.
• $\mathrm{GL}_d(\mathcal{O}_K)$-안정 $\mathcal{O}_K$-격자 $V_0 \subset V$를 고정하며, 토러스 $T_1$에 의한 무게 공간으로 분해한다: $V_{0,\mu}$.
• $\mathcal{V}_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}}|_{\mathfrak{Y}}$를 $V_{0,\mu} \otimes \mathcal{O}_{\mathfrak{X}} \otimes \mathcal{O}_{\widehat{K}}$ 내의 코herent $\mathcal{O}_{\mathfrak{X}} \otimes_{\mathcal{O}_K} \mathcal{O}_{\widehat{K}}$-격자들의 직합으로 정의하며, 이는 무게 $\mu$에 의해 결정되는 필터레이션을 갖는다.
• G-안정성과 붙임 기법을 통해 $\mathfrak{X}$ 전체 위에 $G$-안정 코herent 층으로 $\mathcal{V}_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}}|_{\mathfrak{Y}}$를 유일하게 확장한다.
• 특별한 피복 $\mathfrak{X} \otimes k$ 위에서 관련된 계층 $\mathrm{Gr}^\mu \mathcal{V}_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}}$를 분석하며, 이는 등사사상과 토포로지 몫을 통해 선다발 $\mathcal{L}_Y(D(\overline{a}(\mu), 0, 0))$와 관련된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 하면 $\mathrm{GL}_{d+1}(K)$에 대해 $G$-equivariant $\mathcal{O}_K$-격자를 $p$-진 힐베르트-홀로모르피크 이산 계열 표현 내에 구축할 수 있는가?
• RQ2 언제 $H^t(\mathfrak{X}, \mathcal{V}_{\mathcal{O}_K})$가 $t > 0$에 대해 소멸하는가?
• RQ3 특별한 피복 $\mathfrak{X} \otimes k$의 구조는 무엇이며, $\mathrm{Gr}^\mu \mathcal{V}_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}}$ 위의 $U(K)$-작용이 코homological 소멸에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 탈락 기법과 브라하트-티츠 빌딩 위의 계수 체계는 이러한 정수적 층의 코homology와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 모듈러스 성분에서의 고차 코homology 소멸을 이용해 $\mathcal{V}_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}}$의 기저 전환 공식을 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $t > 0$에 대해 $H^t(\mathfrak{X}, \mathcal{V}_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}})$가 소멸함을 증명하며, 조건은 모든 $1 \leq j \leq d$ 및 모든 $V_\mu \neq 0$인 무게 $\mu$에 대해 $\overline{a}_j(\mu) \leq 0$임을 가정한다.
• $\mathrm{Gr}^\mu \mathcal{V}_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}}$는 $U(K)$-equivariant이며, 특별한 피복으로의 기저 전환 후 $H^t(\mathfrak{X}, \mathrm{Gr}^\mu \mathcal{V}_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}} \otimes_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}} k) = 0$이 되며, 모든 $t > 0$에 대해 성립한다.
• $\overline{\mu} \in X^*(\overline{T})$이면, $\mathrm{Gr}^\mu \mathcal{V}_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}} \otimes k$는 개방 부분 스킴 $Y$ 위에서 선다발 $\mathcal{L}_Y(D(\overline{a}(\mu), 0, 0))$와 $V_{\mu,0} \otimes_{\mathcal{O}_K} k$의 텐서곱과 동형이다.
• $\overline{\mu} \notin X^*(\overline{T})$이면, 감소된 $\mathrm{Gr}^\mu \mathcal{V}_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}} \otimes k$는 $\mathrm{Gr}^\mu \mathcal{V}_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}} \otimes_{\mathcal{O}_{\mathfrak{X}}} \mathcal{O}_Z$의 토포로지 자유 몫과 동형이다. 여기서 $Z \in F^0$이다.
• 브라하트-티츠 빌딩 위의 계수 체계를 사용하고, Proposition 4.4와 $U(K)$-안정성을 활용하여, 모든 성분 교차 $W \in F^s$에서 고차 코homology 소멸을 확립한다.
• $t = 1$에 대해 기저 전환 공식 $H^t(\mathfrak{X}, \mathcal{V}_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}} \otimes_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}} k) \cong H^t(\mathfrak{X}, \mathcal{V}_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}}) \otimes_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}} k$이 성립하며, $t > 0$의 경우는 $\pi^r$-multiplication을 포함하는 정확한 수열을 통해 고차 소멸에 의해 유도된다.