[논문 리뷰] Integrals in Gradshteyn and Ryzhik: Hyperbolic and trigonometric function

Mark W. Coffey|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 22.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 그라드슈타이니와 리즈히크의 적분표에 수록된 쌍곡선 및 삼각함수를 포함하는 정적분에 대해, 급수 전개와 허위츠 제타 및 다이감마 함수와의 연결을 통해 엄밀한 증명과 확장을 제공한다. 주요 기여는 허위츠 제타 함수를 통해 표현된 일반적 적분 공식 $\int_0^\infty \frac{\cosh(bx)}{\sinh(ax)} x^{p-1} dx$ 로, 이는 4.118–4.124절의 여러 항목을 통합하고 확장한다.

ABSTRACT

The well known table of Gradshteyn and Ryzhik contains indefinite and definite integrals of both elementary and special functions. We give proofs of several entries containing integrands with some combination of hyperbolic and trigonometric functions. In fact, we occasionally present an extension of such entries or else give alternative evaluations. We develop connections with special cases of special functions including the Hurwitz zeta function. Before concluding we mention new integrals coming from the investigation of certain elliptic functions.

연구 동기 및 목표

• 그라드슈타이니와 리즈히크의 표에서 선택된 쌍곡선 및 삼각함수를 포함하는 정적분에 대해 엄밀한 증명과 확장을 제공하는 것.
• 이러한 적분과 허위츠 제타, 감마, 다이감마 함수와 같은 특수함수 간의 관계를 설정하는 것.
• 특히 4.124절에서 발생할 수 있는 기존 표 항목의 오류를 식별하고 수정하는 것.
• 타원 함수의 연구와 그 테일러 전개를 통해 유도되는 새로운 적분을 도출하는 것, 특히 허위츠 수를 포함한 표현을 통해.

제안 방법

• $\sinh^{-1}(ax)$ 및 $\cosh^{-1}(ax)$의 기하급수 전개를 활용하여 $\cosh(bx)/\sinh(ax)$를 포함하는 적분을 평가하는 것.
• Re(s) > 1 인 경우에 대해 $\zeta(s,a) = \sum_{n=0}^\infty (n+a)^{-s}$ 로 주어진 허위츠 제타 함수의 적분 표현을 결과 표현에 적용하는 것.
• 함수 방정식 $\zeta(s,a+1) = \zeta(s,a) - a^{-s}$ 와 리만 제타 함수로의 알려진 환원을 적용하는 것.
• 다이감마 함수와의 관계 $\psi^{(n)}(x) = (-1)^{n+1} n! \zeta(n+1,x)$ 를 활용하여 적분과 다이감마 함수를 연결하는 것.
• 해석적 계속성과 적분 기호 아래 미분을 적용하여 기존 항목의 등가 형태를 도출하는 것.
• 위어스트라스 $\wp$-함수의 성질과 그 허위츠 수를 포함한 로랑 전개를 이용하여 새로운 적분을 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그라드슈타이니와 리즈히크의 표에 수록된 쌍곡선 및 삼각함수를 포함하는 적분은 특수함수 항등식을 통해 어떻게 엄밀하게 증명할 수 있는가?
• RQ2 적분 $\int_0^\infty \frac{\cosh(bx)}{\sinh(ax)} x^{p-1} dx$ 의 일반적 형태는 무엇이며, 허위츠 제타 함수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 그라드슈타이니와 리즈히크의 항목들, 특히 4.124절에서 오류가 존재하는가? 만약 존재한다면 어떻게 수정할 수 있는가?
• RQ4 타원 함수 전개에서 유도되는 수론적 성질을 가진 허위츠 수를 바탕으로 새로운 적분을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 일반 공식 유도: $\int_0^\infty \frac{\cosh(bx)}{\sinh(ax)} x^{p-1} dx = \frac{\Gamma(p)}{(2a)^p} \left[ \zeta\left(p, \frac{a-b}{2a}\right) + \zeta\left(p, \frac{a+b}{2a}\right) \right] $, $\text{Re}(p) > 1$ 및 $|\text{Re}(b)| < |\text{Re}(a)|$ 조건 하에.
• 이 결과는 3.523.1 및 3.524.5와 같은 기존 항목을 복원하며, 해석적 계속성과 미분을 통한 등가성 확인을 가능하게 한다.
• p=2 인 경우 적분은 $\frac{\pi^2}{4a^2} \sec^2\left(\frac{\pi b}{2a}\right)$ 로 평가되며, 삼감마 함수 반사 공식을 통해 4.111.6 항목이 확인된다.
• 4.124.1 항목에 대한 수정된 버전을 제안하며, 원본 자료에서 4.124.1과 4.124.2 항목 간에 인용 순서가 뒤바뀌어 있을 가능성이 있는 증거를 제시한다.
• 주기 $\tilde{\omega}$ 와 $\tilde{\omega}i$ 를 가진 위어스트라스 $\wp$-함수의 로랑 전개를 통해 허위츠 수를 포함하는 새로운 적분을 도출한다.
• 특정한 새로운 결과로는 $\int_0^\infty \frac{(\cos t + 1)}{\cosh t - \cos t} \left[ \sinh(t/2) - \sin(t/2) \right] dt = 1 - \frac{\pi}{4}$ 와 $\int_0^\infty \frac{(\cos t + 1)t}{\cosh t - \cos t} \left[ \cosh(t/2) - \cos(t/2) \right] dt = \tilde{\omega}^2 - 4$ 가 있으며, 여기서 $\tilde{\omega} = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)}$ 이다.