[논문 리뷰] Integrals of automorphic Green's functions associated to Heegner divisors

Jan Hendrik Bruinier, Ulf Kuehn|ArXiv.org|2002. 04. 09.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 27인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 O(2,p)의 산술적 몫 위에서 헤이너 암호자와 관련된 자동형 그린 함수의 적분에 대한 명시적 공식을 유도하며, 크로네커 한계 공식을 일반화한다. 이 적분들과 디리클레 L-함수, 리만 제타 함수, 일반화된 약수 합 사이의 연결 고리를 설정하여, 메타플렉틱 군 Mp₂(ℤ)에 대한 비해석적 아이젠스타인 급수의 1+p/2 차수의 푸리에 계수와 관련된 이러한 적분들을 연결하는 쿠드라의 결과를 새로운 증명과 일반화로 제공한다.

ABSTRACT

In the present paper we find explicit formulas for the degrees of Heegner divisors on arithmetic quotients of the orthogonal group $\Orth(2,p)$ and for the integrals of certain automorphic Green's functions associated with Heegner divisors. The latter quantities are important in the study of the arithmetic degrees of Heegner divisors in the context of Arakelov geometry. In particular, we obtain a different proof and a generalization of results of Kudla relating these quantities to the Fourier coefficients of certain non-holomorphic Eisenstein series of weight $1+p/2$ for the metaplectic group $\Mp_2(\Z)$.

연구 동기 및 목표

• O(2,p)의 산술적 몫 위에서 헤이너 암호자와 관련된 자동형 그린 함수의 적분에 대한 명시적 공식을 도출한다.
• 크로네커 한계 공식을 고계수의 직교군으로 일반화하고 이러한 적분을 특수 L-함수와 연결한다.
• 비해석적 아이젠스타인 급수의 1+p/2 차수에 대한 푸리에 계수와 그린 함수 적분을 연결하는 쿠드라의 결과에 대한 새로운 증명과 확장을 제공한다.
• 헤이너 암호자에 대한 산술적 차수와 디리클레 L-함수 및 리만 제타 함수의 상대적 도함수 사이의 정확한 관계를 설정한다.
• 그린 함수와 아이젠스타인 급수를 통해 기존의 모듈러 형식과 보르처르스 곱에 관한 결과를 고차원 직교군으로 확장한다.

제안 방법

• O(2,p)의 대칭 공간 K′ 위에서 헤이너 암호자 H(β,m)와 관련된 자동형 그린 함수 Φβ,m(Z,s)를 보르처르스의 방법을 통해 구성한다.
• 그린 함수의 푸리에 전개와 s = κ/2에서의 해석적 계속을 적용하며, 여기서 κ = 1 + p/2이다.
• 군 대수 ℂ[L′/L] 위에서 SL₂(ℤ)의 위일 대표 ρL를 이용하여 ℂ[L′/L] 값을 갖는 아이젠스타인 급수 E₀(τ,s)를 정의한다.
• 아이젠스타인 급수의 잔여류가 s = κ/2에서 그린 함수의 특이점과 연결됨을 설정한다.
• 고전적 크로네커 한계 공식과 로흐리히의 모듈러 제닝 공식을 이용하여 Γ₁∖ℍ 위에서 log|ΨD(τ)|²(4πy)^k의 적분을 계산한다.
• 제타 함수와 L-함수의 함수 방정식 및 로렌트 전개를 이용하여 최종 공식에서 상대적 도함수 항을 추출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 O(2,p) 위에서 헤이너 암호자와 관련된 자동형 그린 함수의 적분은 어떻게 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 이러한 적분과 디리클레 L-함수 및 리만 제타 함수를 포함한 특수 L-함수의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 쿠드라의 결과 중 그린 함수 적분과 비해석적 아이젠스타인 급수의 푸리에 계수 사이의 연결 고리는 SL₂(ℤ)의 경우를 초월하여 일반화될 수 있는가?
• RQ4 O(2,p) 위에서 헤이너 암호자의 산술적 차수는 L-함수의 상대적 도함수와 약수 합과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 자동형 그린 함수를 통해 크로네커 한계 공식은 어느 정도 고계수의 직교군으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• Γ₁∖ℍ 위에서 헤이너 암호자 H(D)의 차수는 L(χD,0)과 같으며, 이는 해석적 클래스 수 공식을 복원한다.
• Γ₁∖ℍ 위에서 log|ΨD(τ)|²(4πy)^k의 적분은 2ζ′(−1)/ζ(−1) + 1 − L′(χD,0)/L(χD,0) − (1/2)log|D|로 주어지며, 여기서 무게 k = 24h/w이다.
• 이 적분 공식은 고차원 직교군으로의 고전적 크로네커 한계 공식의 일반화이며, 일반화된 약수 합의 기여를 포함한다.
• 아이젠스타인 급수 E₀(τ,s)의 잔여류가 s = κ/2에서 그린 함수의 특이점을 캐릭터라이즈하며, 자동형 형식과 산술기하학을 연결한다.
• 이 방법은 비해석적 아이젠스타인 급수의 1 + p/2 차수의 푸리에 계수와 그린 함수 적분을 연결함으로써 쿠드라 결과의 새로운 증명을 제공한다.
• O(2,p) 위에서 보르처르스 곱의 페르스턴 노름 로그의 적분에 대한 최종 공식은 ζ′(−1)/ζ(−1), L′(χD,0)/L(χD,0), 그리고 log|D|로 표현되며, 산술적 의미를 확인한다.