[논문 리뷰] Integrated Finite Element Neural Network (I-FENN) for non-local continuum damage mechanics

Panos Pantidis, Mostafa E. Mobasher|arXiv (Cornell University)|2022. 07. 14.

Model Reduction and Neural Networks인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한요소법(FEM) 내에 훈련된 신경망을 통합하여 효율적이고 메쉬에 의존하지 않는 비국소 연속체 손상 해석을 가능하게 하는 물리 기반 통합 유한요소 신경망(I-FENN)을 소개한다. 비국소 등가 변형률과 그 도함수를 계산하기 위해 물리 기반 신경망(PINN)을 사용함으로써, I-FENN는 국소적 접근 방식의 계산 비용으로 비국소 모델의 정확도를 달성하며, 추가적인 계산 오버헤드 없이 메쉬 의존성을 제거한다.

ABSTRACT

We present a new Integrated Finite Element Neural Network framework (I-FENN), with the objective to accelerate the numerical solution of nonlinear computational mechanics problems. We leverage the swift predictive capability of neural networks (NNs) and we embed them inside the finite element stiffness function, to compute element-level state variables and their derivatives within a nonlinear, iterative numerical solution. This process is conducted jointly with conventional finite element methods that involve shape functions: the NN receives input data that resembles the material point deformation and its output is used to construct element-level field variables such as the element Jacobian matrix and residual vector. Here we introduce I-FENN to the continuum damage analysis of quasi-brittle materials, and we establish a new non-local gradient-based damage framework which operates at the cost of a local damage approach. First, we develop a physics informed neural network (PINN) to resemble the non-local gradient model and then we train the neural network offline. The network learns to predict the non-local equivalent strain at each material point, as well as its derivative with respect to the local strain. Then, the PINN is integrated in the element stiffness definition and conducts the local to non-local strain transformation, whereas the two PINN outputs are used to construct the element Jacobian matrix and residual vector. This process is carried out within the nonlinear solver, until numerical convergence is achieved. The resulting method bears the computational cost of the conventional local damage approach, but ensures mesh-independent results and a diffused non-local strain and damage profile. As a result, the proposed method tackles the vital drawbacks of both the local and non-local gradient method, respectively being the mesh-dependence and additional computational cost.

연구 동기 및 목표

• 기존의 비국소 방법에 비해 높은 계산 비용을 가지는 국소 손상 모델의 메쉬 의존성 문제를 해결하면서도,
• 신경망을 유한요소법에 통합하여 비선형 수치역학 시뮬레이션의 계산 속도를 향상시키는 프레임워크를 개발하기 위해
• 최소한의 계산 오버헤드로 비취성 재료의 정확하고 확산된 손상 프로파일을 가능하게 하기 위해 비국소 기반의 기울기 손상 모델을 사용하기 위해
• 비국소 변형률 관계에 기반해 훈련된 물리 기반 신경망(PINN)을 통해 물리적 일관성과 일반화 능력을 확보하기 위해
• PINN 구성 요소의 훈련 코드와 데이터를 공개함으로써 재현 가능하고 오픈소스 솔루션을 제공하기 위해

제안 방법

• 비국소 기울기 모델에 기반해 비국소 등가 변형률과 국소 변형률에 대한 도함수를 예측할 수 있도록 사전에 훈련된 물리 기반 신경망(PINN)을 학습한다.
• 훈련된 PINN을 유한요소의 요소 강성 행렬에 통합하여 뉴턴-라프슨 반복 과정 중 국소에서 비국소 변형률으로의 변환을 수행한다.
• PINN의 출력을 사용해 비선형 해소기 내부에서 직접 요소 잔여 벡터와 야코비안 행렬을 계산함으로써, 기존의 비국소 통합 기법을 대체한다.
• 수정된 요소 수준의 야코비안과 잔여 벡터를 사용해 전역 방정식 시스템을 구성하며, 표준 FEM의 구조를 유지하면서도 신경망 예측을 통합한다.
• PINN 예측을 변분 원리의 약한 형태에 통합하여 기초 역학 및 에너지 기반 공식화와의 일관성을 보장한다.
• 형상 함수와 등각적 요소를 활용해 절점 이동량을 변형률 필드로 매핑하며, PINN이 적분점에서 비국소 변환을 담당한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한요소법 내에 신경망을 통합하여 비국소 손상 모델의 정확도를 유지하면서도 국소 모델의 계산 효율성을 확보할 수 있는가?
• RQ2 메쉬 의존성을 보장하는 방식으로 비국소 등가 변형률과 그 도함수를 정확히 근사할 수 있도록 물리 기반 신경망을 어떻게 훈련시킬 수 있는가?
• RQ3 기존의 비국소 FEM과 비교해 I-FENN 프레임워크가 비선형 반복 해소기에서 수렴성과 안정성을 얼마나 잘 유지하는가?
• RQ4 재훈련 없이도 다양한 메쉬 밀도와 하중 조건에 대해 일반화가 가능한가?
• RQ5 유한요소 강성 행렬에 PINN을 통합함으로써 물리적 일관성은 유지되면서도 계산 비용을 줄일 수 있는가?

주요 결과

• I-FENN 프레임워크는 비취성 손상 시뮬레이션에서 메쉬에 의존하지 않는 결과를 달성하여 국소 손상 모델에서 흔히 발생하는 비합리적인 메쉬 민감성 문제를 제거한다.
• 비국소 효과를 통합하고 있음에도 불구하고 I-FENN의 계산 비용은 기존의 국소 손상 접근 방식과 동일하다.
• PINN은 비국소 변형률 변환을 성공적으로 학습하여 기울기 강화 모델과 일치하는 확산된 손상 프로파일을 생성한다.
• 수렴 임계값이 $10^{-4}$에서 $10^{-6}$ 범위로 설정된 뉴턴-라프슨 반복 과정에서 수치적 수렴성이 유지된다.
• 다양한 메쉬 밀도와 하중 조건에 걸쳐 강력한 일반화 능력을 보이며, 여러 수치적 사례를 통한 검증을 통해 입증되었다.
• 저자들은 PINN 구성 요소의 훈련 코드와 관련 데이터를 공개하여 재현 가능성과 향후 방법의 확장 가능성을 보장했다.