[논문 리뷰] Integrating Lie algebroids via stacks

Hsian‐Hua Tseng, Chenchang Zhu|ArXiv.org|2004. 05. 01.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 'Weinstein 군oids'—군oids 유사한 구조를 가진 미분 가능 스택—을 도입하여 리 대수다발의 전역 적분 문제를 해결한다. 각 Weinstein 군oids에 대해 자연스러운 리 대수다발을 정의하고, 모든 리 대수다발이 이러한 스택으로 적분됨을 보여, 스택 이론적 방법을 사용하여 리 대수다발에 대한 리의 세 번째 정리의 완전한 버전을 수립한다.

ABSTRACT

Lie algebroids can not always be integrated into Lie groupoids. We introduce a new object--``Weinstein groupoid'', which is a differentiable stack with groupoid-like axioms. With it, we have solved the integration problem of Lie algebroids. It turns out that every Weinstein groupoid has a Lie algebroid and every Lie algebroid can be integrated into a Weinstein groupoid.

연구 동기 및 목표

• 고전적 리 군oids가 항상 존재하지 않는 바람에, 리 대수다발의 전역 기하적 대상으로의 적분 문제를 해결하기 위해.
• 비적분 가능한 리 대수다발을 수용할 수 있도록 리 군oids를 일반화하는 개념적이고 기하학적인 프레임워크를 제공하기 위해.
• 다른 스택 이론적 방법을 사용하여 리 대수다발에 대한 리의 세 번째 정리의 스택 이론적 형태를 수립하기 위해.
• 기존의 국소 적분, $A$-경로 공간, 심플렉틱 군oids에 관한 결과들을 자연스러운 스택 기반 구성으로 통합하고 일반화하기 위해.
• 고전적 적분 조건이 Weinstein 군oids가 매니폴드로 표현 가능할 조건과 정확히 일치함을 보여주기 위해.

제안 방법

• Weinstein 군oids를 에탈 에르고딕 스택으로서 정의하며, 소스, 타겟, 곱셈, 항등원, 역원 사상이 일관된 2-동형사상까지 군oids 공리계를 만족하도록 한다.
• 에탈 표현과 열린 덮개의 개선을 통해 얻어진 국소 리 군oids의 미분을 통해 Weinstein 군oids의 리 대수다발을 정의한다.
• Crainic와 Fernandes의 $A$-경로 공간 구성법을 기초 도구로 사용하여 항등원 섹션 주변의 국소 군oids 구조를 정의한다.
• 모든 리 대수다발 $A$에 대해, 에탈 군oids와 열린 덮개의 개선을 통한 표현을 사용하여 두 개의 근본적인 Weinstein 군oids $\mathcal{G}(A)$와 $\mathcal{H}(A)$를 구성한다.
• 다양한 표현 간의 일致성을 확보하기 위해 국소 군oids의 리 대수다발과 Weinstein 군oids의 리 대수다발 사이에 자연스러운 동형사상을 수립한다.
• Crainic-Fernandes(2003)에서 구성한 보편 위상 군oids와 $\mathcal{G}(A)$ 및 $\mathcal{H}(A)$의 궤도 공간이 서로 동형임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 리 군oids 적분이 실패할 경우, 모든 리 대수다발이 전역 기하적 대상으로 적분될 수 있는가?
• RQ2 모든 유한 차원 리 대수다발을 적분할 수 있도록 허용하는 리 군oids의 적절한 일반화는 무엇인가?
• RQ3 Weinstein 군oids의 스택 이론적 프레임워크는 $A$-경로 공간 및 심플렉틱 군oids와 같은 기존 구성과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 Weinstein 군oids가 매끄러운 매니폴드로 표현 가능해지는 조건은 무엇이며, 이는 고전적 적분성과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 Weinstein 군oids의 리 대수다발은 자연스럽게 정의될 수 있으며, 원래의 리 대수다발을 회복할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 리 대수다발 $A$는 그 리 대수다발 $A$를 공유하는 두 개의 근본적인 Weinstein 군oids $\mathcal{G}(A)$와 $\mathcal{H}(A)$로 적분된다.
• Weinstein 군oids의 리 대수다발은 에탈 표현과 열린 덮개의 개선을 통해 구성된 국소 리 군oids의 미분을 통해 자연스럽게 정의된다.
• 리 대수다발 $A$가 고전적으로 적분 가능하다(즉, 리 군oids로 적분된다)는 것과 $\mathcal{H}(A)$가 매끄러운 매니폴드로 표현 가능하다는 것은 정확히 동치이다.
• $\mathcal{H}(A)$가 표현 가능할 경우, 그것은 $A$의 소스-단순 연결 리 군oids와 정확히 일치하며, 고전적 적분 결과를 복원한다.
• $\mathcal{G}(A)$와 $\mathcal{H}(A)$의 궤도 공간은 모두 Crainic과 Fernandes(2003)에 의해 구성된 보편 위상 군oids와 동형이다.
• Weinstein 군oids로부터 국소 리 군oids를 구성하는 것은 표현의 선택과 무관하게 자연스럽고 일관된 방식으로 이루어지며, 다양한 아틀라스 간의 일致성을 보장한다.