[논문 리뷰] Integration and measures on the space of countable labelled graphs

Apoorva Khare, Bala Rajaratnam|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 04.

Graph Labeling and Dimension Problems참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 가산 레이블링이 부여된 그래프 공간 $ \mathscr{G}(V) $에서 적분과 측도에 대한 엄밀한 기반을 구축한다. 이는 이중 히깅 노름 $\|\cdot\|_{\psi,2}$ 가 무한 그래프 공간과 단위 원 사이의 하르 측도를 보존하는 전단사 사상임을 보여줌으로써 가능해진다. 이는 $\mathbb{R}$ 에서의 리만-레베그 이론을 그래프 공간으로 옮기는 변수 치환을 가능하게 하며, $\mathscr{G}(V)$ 의 폰트리아진 쌍대체를 워쇼프 함수의 군으로 식별함으로써 그래프 공간에서의 푸리에 분석을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper we develop a rigorous foundation for the study of integration and measures on the space $\mathscr{G}(V)$ of all graphs defined on a countable labelled vertex set $V$. We first study several interrelated $σ$-algebras and a large family of probability measures on graph space. We then focus on a "dyadic" Hamming distance function $\left\| \cdot ight\|_{ψ,2}$, which was very useful in the study of differentiation on $\mathscr{G}(V)$. The function $\left\| \cdot ight\|_{ψ,2}$ is shown to be a Haar measure-preserving bijection from the subset of infinite graphs to the circle (with the Haar/Lebesgue measure), thereby naturally identifying the two spaces. As a consequence, we establish a "change of variables" formula that enables the transfer of the Riemann-Lebesgue theory on $\mathbb{R}$ to graph space $\mathscr{G}(V)$. This also complements previous work in which a theory of Newton-Leibnitz differentiation was transferred from the real line to $\mathscr{G}(V)$ for countable $V$. Finally, we identify the Pontryagin dual of $\mathscr{G}(V)$, and characterize the positive definite functions on $\mathscr{G}(V)$.

연구 동기 및 목표

• 고정된 가산 레이블링이 부여된 정점 집합 $V$ 를 가진 모든 그래프의 공간 $\mathscr{G}(V)$ 에서의 적분과 측도에 대한 엄밀한 이론을 개발하는 것.
• 대칭 차집합을 군 연산으로 하는 컴팩트 아벨 군으로서의 $\mathscr{G}(V)$ 에서의 하르 측도를 식별하고 연구하는 것.
• 하르 측도를 보존하는 전단사 사상에 의해 $\mathscr{G}(V)$ 에서의 적분과 $\mathbb{R}$ 에서의 리만-레베그 이론 사이의 연결 고리를 설정하는 것.
• 그래프 공간에서의 양의 정부호 함수의 구조를 규명하기 위해 $\mathscr{G}(V)$ 의 폰트리아진 쌍대체를 특성화하는 것.
• 워쇼프 함수가 $L^2(\mathscr{G}(V))$ 에서 완전한 정규수직 기저를 이룬다는 것을 보여주어 그래프 공간에서의 푸리에 분석을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• $\mathscr{G}(V) = \{0,1\}^{K_V}$ 를 정점 집합 $V$ 에서의 모든 그래프의 공간으로 정의하고, 프로덕트 위상과 대칭 차집합을 군 연산으로 갖는다.
• 고정된 전단사 사상 $\psi: K_V \to \mathbb{N}$ 에 대해 이중 히깅 노름 $\|G\|_{\psi,2} = \sum_{e \in G} 2^{-\psi(e)}$ 을 도입하며, 이는 이동 불변 거리함수를 유도한다.
• $\|\cdot\|_{\psi,2}$ 가 무한 그래프의 부분집합에서 단위 원 $[0,1)$ 으로의 하르 측도를 보존하는 전단사 사상임을 증명한다. 이는 적분을 위한 변수 치환을 가능하게 한다.
• 이 전단사 사상을 이용해 $\mathbb{R}$ 에서의 리만-레베그 이론을 $\mathscr{G}(V)$ 로 이행시키며, 그래프 공간에서의 적분을 $[0,1]$ 에서의 적분으로 환원할 수 있도록 한다.
• $\mathscr{G}(V)$ 의 폰트리아진 쌍대체 $\mathscr{G}^\wedge$ 는 유한 간선 집합 $E \in \mathscr{G}_0(V)$ 에 의해 인덱싱된 워쇼프 함수 $\chi_E$ 의 군으로 특성화된다.
• 보흐너의 정리를 적용하여 $\mathscr{G}(V)$ 에서의 정규화된 양의 정부호 함수가 $\mathscr{G}^\wedge$ 에 대한 확률 측도의 푸리에 변환으로서 나타남을 보이며, 이 쌍대체는 $\mathscr{G}_0(V)$ 와 동형임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가산 레이블링이 부여된 그래프 공간 $\mathscr{G}(V)$ 에서 일致적인 적분 및 측도 이론을 어떻게 개발할 수 있는가?
• RQ2 $\|\cdot\|_{\psi,2}$ 의 이중 히깅 노름이 그래프 공간과 단위 원 사이의 관계를 어떻게 설정하고 변수 치환을 가능하게 하는가?
• RQ3 $\mathscr{G}(V)$ 에서의 하르 측도가 원 위의 르베그 측도와 어떻게 관련되어 있으며, 이러한 동형사상의 의미는 무엇인가?
• RQ4 $\mathscr{G}(V)$ 의 폰트리아진 쌍대체는 무엇이며, 그래프 공간에서의 양의 정부호 함수의 구조와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 워쇼프 함수를 사용하여 $\mathscr{G}(V)$ 에서의 푸리에 분석을 완전히 특성화할 수 있으며, 이는 고전적인 $L^2$-이론과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• $\|\cdot\|_{\psi,2}$ 는 무한 그래프 공간에서 단위 원 $[0,1)$ 으로의 하르 측도를 보존하는 전단사 사상임을 보여주며, 이는 $\mathbb{R}$ 에서의 적분을 $\mathscr{G}(V)$ 로 옮기는 변수 치환을 가능하게 한다.
• $\mathscr{G}(V)$ 에서의 적분은 이 전단사 사상에 의해 $[0,1]$ 에서의 적분으로 환원되며, 이는 리만-레베그 이론이 그래프 공간으로 효과적으로 이행됨을 의미한다.
• $\mathscr{G}(V)$ 의 폰트리아진 쌍대체 $\mathscr{G}^\wedge$ 는 대칭 차집합을 군 연산으로 하는 유한 그래프의 군 $\mathscr{G}_0(V)$ 와 동형임을 보였다.
• $E \in \mathscr{G}_0(V)$ 에 대해 워쇼프 함수 $\chi_E$ 는 $L^2(\mathscr{G}(V))$ 에서 완전한 정규수직 기저를 이룬다. 이 기저는 $\|\cdot\|_{\psi,2}$ 사상 아래에서 표준 워쇼프 함수로 변환된다.
• 모든 정규화된 양의 정부호 함수 $f(G)$ 는 보흐너의 정리에 따라 $\mathscr{G}_0(V)$ 에 대한 확률 측도 $\mu$ 에 대해 $f(G) = \sum_{H \in \mathscr{G}_0(V)} (-1)^{|G \cap H|} \mu(H)$ 의 형태로 나타난다.