[논문 리뷰] Integration by parts formulae for degenerate diffusion measures on path spaces and diffeomorphism groups

K. D. Elworthy, Y. Le Jan외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 21.

Advanced Neuroimaging Techniques and Applications참고 문헌 1인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 컴act한 미분 가능 다양체 위의 경로 공간과 미분형군에서 비가역성 있는 확산 측도에 대한 통합 법칙을 도출하며, Cameron-Martin 유형의 변형에 의한 확률적 흐름의 준불변성에서 이를 유도한다. 핵심 결과는 수반 작용과 LeJan-Watanabe 접속을 사용한 미분형군에서의 경로별 통합 법칙으로, 이는 임의의 잡음의 여유를 걸러내고 조건부 기대와 수평 상승을 통해 기저 다양체 위에서 정규형식을 도출한다.

ABSTRACT

Integration by parts formulae are given for a class of measures on the space of paths of a smooth manifold $M$ determined by the laws of degenerate diffusions. The mother of such formulae, on the path space of diffeomorphism group of $M$ is shown to arise from a quasi-invariance property of measures determined by stochastic flows. From this the other formulae are derived by filtering out redundant noise using an associated LeJan-Watanabe connection.

연구 동기 및 목표

• 경로 공간 위의 컴 pact한 미분 가능 다양체 위에서 비가역성 있는 확산 측도에 대해 엄밀한 통합 법칙을 수립하는 것.
• Cameron-Martin 경로에 의해 유도되는 변형 하에서 확률적 흐름의 법칙의 준불변성에서 이러한 법칙을 도출하는 것.
• LeJan-Watanabe 접속을 통해 SDE 내의 여유 잡음을 기하학적으로 걸러내어 기저 다양체 위에서 정규형식의 관찰 가능한 벡터장으로 이어지는 것.
• 유한차원의 미분형군에서 무한차원 힐버트 다양체 위의 우변 불변 시스템과 정규 그룹 구조를 갖는 무한차원으로의 프레임워크 확장.
• 확산 계수의 이미지 번들의 적응 접속을 사용한 경로별 기하학적 통합 법칙의 표현을 제공하는 것.

제안 방법

• Cameron-Martin 경로에 의한 시간에 의존하는 변형 하에서 확률적 흐름의 법칙의 준불변성을 이용하여, 미분형군의 경로 공간에서 어머니 통합 법칙을 유도한다.
• 역 흐름의 수반 작용과 잡음 계수 $ K_t = X(\theta_t)k_t $에 의해 구동되는 Diff M 위의 오른쪽 불변 ODE를 통해 변형 흐름 $ H_t^\tau $을 구성한다.
• 이미지 부분다양체 $ I(X) \subset TM $ 위의 LeJan-Watanabe 접속 $ \check{\nabla} $을 사용하여, 잡음의 여유를 제거하는 메트릭에 적합한 애핀 접속을 정의한다.
• 조건부 기대 $ \bar{V}_t^k $를 적용하여 드리프트를 관측 가능한 경로 공간으로 투영함으로써, $ C_x([0,T];M) $ 위의 정규형식의 벡터장을 도출한다.
• 결과로 얻어진 통합 법칙을 마틴갈 부분 $ dW_t = X(\cdot)dB_t $ 과 재생 핵 힐베르트 공간 $ \mathcal{H} $ 의 벡터장으로 표현한다.
• 연결을 통해 수평 과정 $ \bar{v}_t $ 를 올리고, 드리프트를 평행 이동과 확률 반발로 표현함으로써 최종 공식 (17)을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비가역성 있는 확산 측도에 대해 컴 pact한 다양체 위의 경로 공간에서 통합 법칙을 체계적으로 도출할 수 있는 방법은 무엇인가? 특히 확산 계수의 역행성이 없는 경우에 대해.
• RQ2 Cameron-Martin 유형의 변형 하에서 확률적 흐름의 준불변성이 통합 법칙 항등식을 생성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 SDE 내의 여유 잡음을 기하학적으로 어떻게 걸러내어 경로 공간 위에서 정규형식의 관측 가능한 벡터장을 도출할 수 있는가?
• RQ4 LeJan-Watanabe 접속이 이미지 부분다양체 $ I(X) $ 위에 메트릭에 적합하고 수평적인 잡음의 상승을 구성하는 데 정확히 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 유한차원의 미분형군에서부터 오른쪽 불변 구조를 갖는 무한차원 힐베르트 다양체로의 통합 법칙을 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 확률적 흐름의 측도 $ \mu_{\cal D} $ 는 $ C_{id}([0,T];\text{Diff} M) $ 에서 변형 $ \xi_t \mapsto \xi_t(H_t^\tau) $ 에 대해 준불변이며, 이는 어머니 통합 법칙 (5) 를 생성한다.
• 공식 (5) 는 역 흐름의 수반 작용을 沿해 $ C^1 $ 함수성 $ F $ 의 도함수의 기대를 마틴갈 부분 $ dW_t $ 와의 내적으로 표현하며, 군 경로 공간 위에서 정규형식을 도출한다.
• LeJan-Watanabe 접속 $ \check{\nabla} $ 를 통해 잡음을 걸러내어, 기저 다양체 경로 공간 $ C_x([0,T];M) $ 에서 공식 (17) 을 도출한다. 이는 초기 접선 벡터의 수평 상승 $ \bar{v}_t $ 를 사용한다.
• 수평 과정 $ \bar{v}_t $ 는 접속 $ \check{\nabla} $ 의 리치 곡률, 드리프트 $ A $, 그리고 확률 반발 $ \check{B}_t $ 에 의해 구동되는 확률 미분 방정식 (15) 를 만족한다.
• 최종 공식 (17) 은 $ C_x([0,T];M) $ 에서의 통합 법칙을 잡음 $ X(\sigma(s))\dot{K}_s $ 와 연결에 의해 가중된 반발 $ \check{B}_t $ 의 평행 이동 간의 내적으로 표현한다.
• 만약 $ A(x) \in I(X)_x $ 라면, 수평 과정 $ \bar{v}_t $ 는 리만-레비치비타 접속과 곡률 항 $ \frac{1}{2}\check{\text{Ric}}^\#(\bar{v}_t) $ 를 포함하는 SDE (16) 을 만족하며, 기하학적 일致성을 확인한다.