[논문 리뷰] Interaction and modular invariance of strings on curved manifolds

Stephen Hwang, Patrick J. Roberts|ArXiv.org|1992. 11. 17.

Black Holes and Theoretical Physics인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 모듈러 불변성과 상호작용을 중심으로, 특히 SU(1,1) 군 다양체와 그 유클리드 코셋 SU(1,1)/U(1)에서의 스트링 전파를 조사한다. 비단위 표현을 사용하여 비단위 상태를 분리시키고 모듈러 불변 분할 함수를 도출하는 두 종류의 스트링 이론을 구축한다. SU(1,1)의 경우 중심 전하 c=9,6,5,9/2,… 및 c=9,15,21,27,…를 가지며, 후자는 2를 뺀 Gervais-Neveu 시리즈와 일치하여 리우빌 이론과의 유사성을 시사한다. 코셋 이론은 수렴하는 분할 함수를 제공하며, 임계 2차원 블랙홀을 포함한다.

ABSTRACT

We review and present new results for a string moving on an $SU(1,1)$ group manifold. We discuss two classes of theories which use discrete representations. For these theories the representations forbidden by unitarity decouple and, in addition, one can construct modular invariant partition functions. The partion functions do, however, contain divergencies due to the time-like direction of the $SU(1,1)$ manifold. The two classes of theories have the corresponding central charges $c=9,6,5,9/2,\ldots$ and $c=9,15,21,27,\ldots$. Subtracting two from the latter series of central charges we get the Gervais-Neveu series $c-2=7,13,19,25$. This suggests a relationship between the $SU(1,1)$ string and the Liouville theory, similar to the one found in the $c=1$ string. Modular invariance is also demonstrated for the principal continous representations. Furthermore, we present new results for the Euclidean coset $SU(1,1)/U(1)$. The same two classes of theories will be possible here and will have central charges $c=8,5,4,\dots$ and $c=8,14,20,26,\ldots$, where the latter class includes the critical 2d black hole. The partition functions for the coset theory are convergent.(Talk presented by S.H. at the 16'th Johns Hopkins' Workshop, Göteborg, Sweden, June 8-10, 1992)

연구 동기 및 목표

• 모듈러 불변성의 맥락에서, 특히 SU(1,1) 군 다양체와 그 유클리드 코셋 SU(1,1)/U(1)에서의 곡면 다각형에서의 스트링 역학을 연구한다.
• 비단위 표현을 분리시키는 데 사용되는 이산 표현을 이용해 스트링 이론을 구축한다.
• 시간적 방향으로 인한 발산으로 인해 SU(1,1)의 경우 발산이 발생하지만, 여전히 모듈러 불변 분할 함수를 도출한다.
• SU(1,1) 스트링과 리우빌 이론 간의 관계를 탐색하며, 특히 Gervais-Neveu 시리즈를 통한 연결성을 분석한다.
• 주요 연속 표현에 대해 모듈러 불변성을 입증하고, 코셋 모델의 타당성을 확립한다.

제안 방법

• 비단위 표현을 포함한 SU(1,1)의 이산 단위 및 비단위 표현을 사용하여, 비단위 상태가 분리된 스트링 이론을 구축한다.
• 분할 함수에 대해 모듈러 불변성 조건을 적용하여, 모듈러 변환에 대해 불변을 유지하는 조건을 유도한다.
• 유클리드 부호를 사용하여 SU(1,1)/U(1) 코셋 모델을 분석함으로써 분할 함수의 수렴성을 확보한다.
• 표현 내용에 따라 두 가지 다른 이론 계열을 식별하며, 각각 특정 중심 전하 시리즈를 도출한다.
• 중심 전하 시리즈 c=9,15,21,27,… 및 c=8,14,20,26,…을 Gervais-Neveu 시리즈 c−2=7,13,19,25…과 비교하여, 리우빌 이론과의 이중성 가능성을 제기한다.
• 주요 연속 표현에 대해 모듈러 불변성을 입증함으로써, 이론의 유효 범위를 이산 계열을 초월해 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간적 방향으로 인한 발산이 존재하는 SU(1,1) 군 다양체에서 스트링 이론을 어떻게 구성하여 모듈러 불변성을 확보할 수 있는가?
• RQ2 이산 표현은 비단위 상태를 어떻게 분리시키며, 이를 통해 모듈러 불변 분할 함수를 가능하게 하는가?
• RQ3 중심 전하 시리즈 c=9,6,5,9/2,… 및 c=9,15,21,27,…은 2차원 양자 중력 이론에서 알려진 시리즈, 예를 들어 Gervais-Neveu 시리즈와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 SU(1,1)/U(1) 코셋 모델은 수렴하는 분할 함수를 도출할 수 있으며, 임계 2차원 블랙홀 물리학을 지원할 수 있는가?
• RQ5 SU(1,1) 스트링과 리우빌 이론 간의 이중성의 본질은 무엇이며, 중심 전하 구조에 어떻게 반영되는가?

주요 결과

• 이산 표현을 사용하여 SU(1,1)에서 두 종류의 스트링 이론을 구축하였으며, 중심 전하로는 각각 c=9,6,5,9/2,… 및 c=9,15,21,27,…을 얻었다.
• 두 번째 중심 전하 시리즈는 2를 뺀 결과 Gervais-Neveu 시리즈 c−2=7,13,19,25…와 일치하며, 리우빌 이론과의 잠재적 이중성을 시사한다.
• 시간적 방향으로 인한 발산이 존재하나, 이산 표현과 주요 연속 표현 양쪽 모두에서 모듈러 불변성이 달성된다.
• 유클리드 코셋 SU(1,1)/U(1)는 중심 전하 c=8,5,4,… 및 c=8,14,20,26,…를 가지는 두 종류의 이론을 도출하며, 후자는 임계 2차원 블랙홀을 포함한다.
• 코셋 이론의 분할 함수는 SU(1,1)의 경우와 달리 수렴하며, 이는 코셋 모델이 더 물리적으로 타당함을 시사한다.
• 결과는 SU(1,1) 스트링 이론과 리우빌 이론 사이에 깊은 구조적 유사성을 지니며, c=1 스트링 모델에서 알려진 연결성과 유사함을 보여준다.