[논문 리뷰] Interaction quenches in the Lieb-Liniger model

Márton Kormos, Aditya Shashi외 2명|arXiv (Cornell University)|2012. 04. 17.

Theoretical and Computational Physics참고 문헌 1인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 급열역학적 평형분포(GGE)와 베티안사태 기법을 조합하여 1차원 리브-린이거 모형에서의 상호작용 쿨링 현상에 대해 연구한다. 무한히 많은 보존량이 응집된 효과로 인해 준모멘텀 분포에 비해역성 행동이 발생하고, 이는 국소적이지 않은 상관관계 함수에서 상호작용에 의존하는 프리델 유사 진동을 유도한다. 이는 열역학적 예측과 다름을 보이며 초냉각 원자 실험에서 검증 가능한 서명을 제공한다.

ABSTRACT

We obtain exact results on interaction quenches in the 1D Bose gas described by the integrable Lieb-Liniger model. We show that in the long time limit integrability leads to significant deviations from the predictions of the grand canonical ensemble and a description within the generalized Gibbs ensemble (GGE) is needed. For a non-interacting initial state and arbitrary final interactions, we find that the presence of infinitely many conserved charges generates a non-analytic behavior in the equilibrated density of quasimomenta. This manifests itself in a dynamically generated Friedel-like oscillation of the non-local correlation functions with interaction dependent oscillation momenta. We also exactly evaluate local correlations and the generalized chemical potentials within GGE.

연구 동기 및 목표

• 상호작용 쿨링 이후 고립된 양자 시스템의 장기적 행동을 이해하는 것, 특히 리브-린이거 모형과 같은 적분 가능 모형에서의 행동를 이해하는 것.
• 일반적인 열역학적 평형분포인 광역화된 캐논리컬 분포(GCE)가 평형 상태를 기술하는 데 충분한지, 아니면 일반화된 급열역학적 평형분포(GGE)가 필요한지 판단하는 것.
• 임의의 최종 상호작용 강도에 대해 GGE 프레임워크 내에서 국소 상관관계와 일반화된 화학포텐셜의 정확한 표현을 도출하는 것.
• 초냉각 원자 시스템에서 적분 가능성의 실험적으로 관측 가능한 서명, 예를 들어 비연속적 행동과 진동 상관관계 함수를 식별하는 것.

제안 방법

• 리브-린이거 모형의 베티안사태 해법과 일반화된 급열역학적 평형분포(GGE)를 조합하여 상호작용 쿨링 이후 비평형 평형 상태를 기술한다.
• 정확한 스펙트럼과 보존량 $ Q_m = \sum_j \lambda_j^m $을 사용하며, 여기서 $ \lambda_j $ 는 리브-린이거 대수적 방정식을 만족하는 준모멘텀이다.
• 문제의 순간 문제 해결을 통해 填充 함수 $ f(\lambda) $ 를 유도하며, 관계식 $ \varepsilon(\lambda) = \log[1/f(\lambda) - 1] $ 과 함께 비선형 적분방정식을 $ \varepsilon(\lambda) $ 를 구해낸다.
• 형태인자 전개와 행렬식 표현을 통해 국소적이지 않은 상관관계 함수를 평가하며, 두 점 함수에 대한 $ G(x) $ 함수를 포함한다.
• GGE 방정식을 $ \lambda/\lambda_* $ 의 멱수로 전개하여 일반화된 화학포텐셜 $ \beta_{2m} $ 를 계산하며, 큰 $ m $ 에서 대수적 감쇠가 나타남을 드러낸다.
• 준모멘텀의 반원형 분포를 사용하여 상관관계 함수에 대한 해석적 근사값을 유도하며, 베셀 함수와 지수 감쇠에 맞추어진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리브-린이거 모형에서 상호작용 쿨링 이후 장기 평형 상태를 일반화된 급열역학적 평형분포(GGE)가 정확히 기술할 수 있는가, 아니면 적분 가능성으로 인해 광역화된 캐논리컬 분포(GCE)가 실패하는가?
• RQ2 무한히 많은 보존량이 국소적이지 않은 상관관계 함수에 어떻게 나타나며, 관측된 프리델 유사 진동의 기원은 무엇인가?
• RQ3 장기적으로 준모멘텀 분포에서 비연속적 행동의 기능적 형태와 물리적 기원은 무엇인가?
• RQ4 큰 $ m $ 에서 일반화된 화학포텐셜 $ \beta_{2m} $ 는 어떻게 행동하며, 이는 GGE의 구조에 어떤 의미를 갖는가?
• RQ5 GGE 기술이 정확한 국소 및 국소적이지 않은 상관관계 함수를 계산하는 데 사용될 수 있는가, 그리고 이는 열역학적 예측과 어떻게 다를까?

주요 결과

• 상호작용 쿨링 이후 장기 평형 상태에서 국소적이지 않은 상관관계 함수는 파장이 $ \lambda_* $ 인 프리델 유사 진동을 보이며, 이는 최종 상호작용 강도 $ \gamma $ 에 따라 달라진다. 이는 열역학적 상태에서의 지수 감쇠와는 뚜렷한 대비를 이룬다.
• 무한히 많은 보존량의 응집 효과로 인해 준모멘텀 밀도에 비연속적 행동이 발생하고, 이는 운동량 분포에서 '페르미 에지'를 유도한다.
• 두 점 상관관계 함수는 $ \sim 1/x^3 $ 의 거듭제곱 감쇠와 함께 $ \sim J_1^2(\lambda_* x)/(\lambda_* x)^2 $ 의 진동을 보이며, 이는 거듭제곱 감쇠를 나타내며, 열역학적 상태는 지수 감쇠를 보인다.
• 일반화된 화학포텐셜 $ \beta_{2m} $ 는 큰 $ m $ 에서 $ \beta_{2m} \approx 1/(2m \lambda_*^{2m}) = 1/(2m (4n^2\gamma)^m) $ 로 대수적 감쇠를 보이며, 발산은 없지만 강한 응집 효과가 존재한다.
• 큰 $ \gamma $ 에서는 밀도-밀도 상관관계 함수가 $ g_2(x) \approx 1 - 2n J_1^2(\lambda_* x)/(\lambda_* x)^2 $ 로 근사되며, 이는 진동적이고 거듭제곱 감쇠임을 확인한다.
• 역온도 $ n^2 \beta_2 $ 는 $ \gamma \gg 1 $ 근처에서 $ \approx 1/(8\gamma) $ 로 스케일링되며, 광역화된 캐논리컬 예측과 다름을 보이며 GGE의 필요성을 확인한다.