[논문 리뷰] Interesting Paths in the Mapper

Ananth Kalyanaraman, Methun Kamruzzaman외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 29.

Topological and Geometric Data Analysis참고 문헌 21인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 맵퍼 기반의 위상적 데이터 분석 도구에서 부분집단의 '흥미로움'을 정량화하기 위한 프레임워크를 제안한다. 이는 가중치가 부여된 그래프에서 방향성 경로로 부분집항을 모델링하며, 간선 가중치는 목표 함수의 변동을 반영하고 간선 서명은 독립 변수 간의 공변동을 캡처한다. 주요 기여는 DAG에서 가장 흥미로운 경로를 찾는 다항 시간 알고리즘으로, 일반적인 경우에 대해 NP-완전성이 입증되었다.

ABSTRACT

The Mapper produces a compact summary of high dimensional data as a simplicial complex. We study the problem of quantifying the interestingness of subpopulations in a Mapper, which appear as long paths, flares, or loops. First, we create a weighted directed graph G using the 1-skeleton of the Mapper. We use the average values at the vertices of a target function to direct edges (from low to high). The difference between the average values at vertices (high-low) is set as the edge's weight. Covariation of the remaining h functions (independent variables) is captured by a h-bit binary signature assigned to the edge. An interesting path in G is a directed path whose edges all have the same signature. We define the interestingness score of such a path as a sum of its edge weights multiplied by a nonlinear function of their ranks in the path. Second, we study three optimization problems on this graph G. In the problem Max-IP, we seek an interesting path in G with the maximum interestingness score. We show that Max-IP is NP-complete. For the special case when G is a directed acyclic graph (DAG), we show that Max-IP can be solved in polynomial time - in O(mnd_i) where d_i is the maximum indegree of a vertex in G. In the more general problem IP, the goal is to find a collection of edge-disjoint interesting paths such that the overall sum of their interestingness scores is maximized. We also study a variant of IP termed k-IP, where the goal is to identify a collection of edge-disjoint interesting paths each with k edges, and their total interestingness score is maximized. While k-IP can be solved in polynomial time for k <= 2, we show k-IP is NP-complete for k >= 3 even when G is a DAG. We develop polynomial time heuristics for IP and k-IP on DAGs.

연구 동기 및 목표

• 맵퍼 시각화에서 식별된 부분집단, 특히 긴 경로, 패인, 고리에 대한 정량적 측도를 개발하기 위해.
• 이진 서명을 통한 간선 가중치, 경로 깊이, 독립 변수 간 일관된 공변동을 통해 '흥미로움'의 개념을 수식화하기 위해.
• 맵퍼 그래프에서 가장 흥미로운 경로 및 간선을 공유하지 않는 경로 집합을 식별하는 계산적 과제를 해결하기 위해.
• 실제 응용 분야에 실용적으로 구현 가능한 효율적 알고리즘을 제공하기 위해, 특히 맵퍼 그래프가 방향성 비순환 그래프(DAG)인 경우에 중점을 두고.

제안 방법

• 맵퍼의 1-스켈레톤에서 유도된 가중치가 부여된 방향성 그래프 $G = (V, E)$를 구성하며, 정점은 클러스터를 나타내고 간선은 클러스터 간 교차를 나타낸다.
• 목표 함수(종속 변수)의 평균 값이 낮은 쪽에서 높은 쪽으로 간선을 방향화하고, 간선 가중치를 이 평균 값의 차이로 할당한다.
• 각 간선에 대해 $h$비트 이진 서명을 할당하여, 교차하는 클러스터들 사이에서 $h$개의 독립 변수의 공변동을 인코딩한다.
• 모든 간선이 동일한 서명을 가진 방향성 경로로 '흥미로운 경로'를 정의함으로써, 독립 변수 간 일관된 행동을 보장한다.
• 경로의 흥미로움 점수를 간선 가중치의 비선형 함수로 정의하며, 경로 내에서 더 깊은 위치에 있는 간선에 더 높은 가중치를 할당한다(경로 내 순서 기반).
• DAG에서 동적 프로그래밍을 사용하여 Max-IP 문제를 $O(mnd_{\text{in}})$ 시간 및 $O(mn)$ 공간 내에서 해결하며, 여기서 $m$, $n$, $d_{\text{in}}$은 간선 수, 정점 수, 최대 진입 차수를 각각 나타낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 맵퍼 시각화에서 특히 긴 경로나 패인과 같은 부분집단의 '흥미로움'을 어떻게 공식적으로 정량화할 수 있는가?
• RQ2 서명 제약이 있는 간선을 가진 맵퍼 그래프에서 가장 흥미로운 경로를 식별하는 데 있어 계산 복잡도는 어떻게 되는가?
• RQ3 총 흥미로움 점수를 최대화하는 간선을 공유하지 않는 흥미로운 경로의 집합을 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ4 경로를 정확히 $k$개 간선으로 제한할 경우 최적화 문제의 복잡도는 어떻게 변화하는가?
• RQ5 실제 맵퍼 출력에서 높은 관심도를 가진 부분집단을 식별하기 위한 실용적인 휴리스틱을 개발할 수 있는가, 특히 그래프가 DAG인 경우에 중점을 두고.

주요 결과

• Max-IP 문제—맵퍼 그래프에서 가장 흥미로운 경로를 찾는 문제—는 일반적으로 NP-완전이지만, 그래프가 DAG인 경우 다항 시간 $O(mnd_{\text{in}})$ 내에 해결 가능하다.
• $k$-IP 문제—총 점수를 최대화하는 $k$개 간선, 간선을 공유하지 않는 흥미로운 경로 집합을 찾는 문제—는 $k \geq 3$일 경우 조차 DAG에서도 NP-완전하다.
• $k \leq 2$인 경우 $k$-IP 문제는 다항 시간 내에 해결 가능하므로, $k = 3$에서 계산 복잡도의 전환점이 존재함을 시사한다.
• DAG에서 IP 및 $k$-IP 문제를 위한 휴리스틱은 Max-IP 알고리즘을 서브루틴으로 사용하며, 각각 $O(mnd_{\text{in}})$ 및 $O(mkd_{\text{in}})$ 시간에 작동한다.
• 이 프레임워크는 옥수수 형질 유전체 데이터셋에서 생물학적으로 의미 있는 부분집단을 성공적으로 식별하였으며, 사전에 위치 정보를 사용하지 않고도 다양한 위치(KS 대 NE) 간 생장 속도 변화와 연관된 두 개의 긴 흥미로운 경로를 밝혀냈다.
• 이 프레임워크를 기반으로 구축된 HYPPO-X 도구는 이러한 경로의 상호작용 탐색을 가능하게 하며, 식물 과학 분야의 가설 생성을 지원한다.