[논문 리뷰] Interior Eigensolver for Sparse Hermitian Definite Matrices Based on Zolotarev's Functions

Yingzhou Li, Haizhao Yang|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 31.

Matrix Theory and Algorithms참고 문헌 36인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Zolotarev의 부호 함수에 대한 유리근사법을 사용하여 희박한 에르미트 정 definite 일반화 고유값 문제를 위한 새로운 내부 고유값 해법 ZoloEig을 제안한다. 등각 사상에 의한 유리함수의 조합을 통해 기존 방법보다 더 적은 극점을 가진 고차수 필터를 구성함으로써, 이동 불변 GMRES와 빠른 직접 해법을 통한 효율적인 스펙트럼 투영이 가능해지며, 행렬 분해 수를 줄임으로써 FEAST보다 우수한 성능을 달성한다. 순차적 테스트에서 더 적은 행렬 분해를 요구한다.

ABSTRACT

This paper proposes an efficient method for computing selected generalized eigenpairs of a sparse Hermitian definite matrix pencil $(A,B)$. Based on Zolotarev's best rational function approximations of the signum function and conformal mapping techniques, we construct the best rational function approximation of a rectangular function supported on an arbitrary interval via function compositions with partial fraction representations. This new best rational function approximation can be applied to construct spectrum filters of $(A,B)$ with a smaller number of poles than a direct construction without function compositions. Combining fast direct solvers and the shift-invariant generalized minimal residual method, a hybrid fast algorithm is proposed to apply spectral filters efficiently. Compared to the state-of-the-art algorithm FEAST, the proposed rational function approximation is more efficient when sparse matrix factorizations are required to solve multi-shift linear systems in the eigensolver, since the smaller number of matrix factorizations is needed in our method. The efficiency and stability of the proposed method are demonstrated by numerical examples from computational chemistry.

연구 동기 및 목표

• 희박한 에르미트 정 definite 행렬 펜슬 (A, B) 의 특정 구간 내에 있는 선택된 고유쌍을 효율적으로 계산하는 방법을 개발하는 것.
• 스펙트럼 투영에 사용되는 유리함수 필터의 극수를 줄임으로써, 다수의 이동된 선형 시스템을 풀이할 때의 계산 비용을 최소화하는 것.
• Zolotarev의 부호 함수에 대한 최적의 유리근사법과 등각 사상 기법을 활용하여 근사 오차가 최소화된 고차수 필터를 구성하는 것.
• 빠른 직접 해법과 이동 불변 GMRES를 조합한 하이브리드 알고리즘을 설계하여 스펙트럼 필터의 효율적 적용을 도모하는 것.

제안 방법

• Zolotarev의 부호 함수 근사자와 등각 사상의 함수 조합을 통해 (a, b) 구간에서 직사각형 함수의 유리근사를 구성한다.
• 결과로 얻어진 유리함수의 부분분수 분해를 유도하여 극점들의 합으로 표현함으로써, 효율적인 선형 시스템 해법을 가능하게 한다.
• 필터 R_ab(B⁻¹A) 를 적용하여 유리함수 적용을 통해 원하는 고유부공간으로의 투영을 수행한다.
• Krylov 부분공간의 이동 불변 성질을 활용하여, 다수의 이동된 시스템 (A - σ_jB)x = b 를 효율적으로 풀기 위해 이동 불변 GMRES를 적용한다.
• 희박한 직접 해법을 개별 이동된 시스템에 적용하여, 채움을 최소화하고 높은 정확도를 확보한다.
• 필터 구성과 반복 해법을 조합하여 고유쌍 계산의 높은 효율성과 안정성을 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Zolotarev의 부호 함수에 대한 최적의 유리근사법을 조합하여 임의의 스펙트럼 구간에 대해 우수한 유리필터를 도출할 수 있는가?
• RQ2 해당 필터는 기존의 윤곽 적분 기반 필터에 비해 더 적은 극수로 더 높은 근사 정확도를 달성하는가?
• RQ3 Krylov 부분공간의 이동 불변 성질을 활용하여 다수의 이동된 시스템을 풀이하는 데 드는 비용을 줄일 수 있는가?
• RQ4 희박한 일반화 고유값 문제에 대해 최신 기술인 FEAST 알고리즘과 비교했을 때, 제안된 방법은 효율성과 안정성 면에서 어떻게 성능을 내는가?
• RQ5 이 필터 구성 방법은 다른 행렬 유형으로 일반화될 수 있으며, 관련 해법에서 조건부 해법으로 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 ZoloEig 방법은 더 적은 행렬 분해 수를 요구함으로써 순차적 계산에서 FEAST보다 뛰어난 성능을 보였다.
• 함수 조합과 등각 사상 기반으로 구성된 유리필터는 목표 직사각형 함수에 대해 최적의 균일 근사 오차를 나타낸다.
• 고정밀도 스펙트럼 투영을 위해 필요한 극수는 직접 유리근사 방법에 비해 상당히 감소하였다.
• 빠른 직접 해법과 이동 불변 GMRES를 조합한 하이브리드 알고리즘은 O(F_N) 비용으로 O(1)개의 고유쌍을 효율적으로 처리할 수 있으며, 여기서 F_N 은 하나의 이동된 시스템을 푸는 데 드는 비용이다.
• 화학 계산 분야의 수치적 결과는 이 방법의 효율성과 수치적 안정성을 입증한다.
• 이 필터 구조는 일반화 가능하며, 비정정 선형 시스템의 조건부 해법이나 오비탈 최소화 방법에서 사용될 수 있다.