[논문 리뷰] Intermediate Assouad-like dimensions

Ignacio García‐Fernández, Kathryn E. Hare외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 17.

Mathematical Dynamics and Fractals인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 상자 차원과 아소우드 차원 사이를 연결하는 함수 Φ를 통해 보간되는, 새로운 종류의 이중 리프시츠 불변 차원—중간 아소우드 유사 차원—을 제안한다. Φ를 변화시킴으로써, 국소적 스케일링 행동에 대한 기하 정보를 더욱 정교하게 반영하는 연속적인 차원 가중치 가족을 구성하며, 퀼라아소우드 차원과 아소우드 차원 사이에 전체 구간의 중간 차원을 가진 칸토어 집합이 존재함을 증명한다.

ABSTRACT

We introduce and study bi-Lipschitz-invariant dimensions that range between the box and Assouad dimensions. The quasi-Assouad dimensions and $ heta$-spectrum are other special examples of these intermediate dimensions. These dimensions are localized, like Assouad dimensions, but vary in the depth of scale which is considered, thus they provide very refined geometric information. We investigate the relationship between these and the familiar dimensions. We construct a Cantor set with a non-trivial interval of dimensions, the endpoints of this interval being given by the quasi-Assouad and Assouad dimensions of the set. We study continuity-like properties of the dimensions. In contrast with the Assouad-type dimensions, we see that decreasing sets in $\mathbb{R}$ with decreasing gaps need not have dimension $0$ or $1$. Formulas are given for the dimensions of Cantor-like sets and these are used in some of our constructions. We also show that, as is the case for Hausdorff and Assouad dimensions, the Cantor set and the decreasing set have the extreme dimensions among all compact sets in $\mathbb{R}$ whose complementary set consists of open intervals of the same lengths.

연구 동기 및 목표

• . 이 논문은 상자 차원과 아소우드 차원 사이에 있는 이중 리프시츠 불변 차원의 정교한 가족을 개발하고자 한다.
• 이 중간 차원의 기하학적 및 분석적 성질, 특히 칸토어 집합과 같은 분수차원 집합에서의 행동을 조사하고자 한다.
• 칸토어 집합의 재배열에 따른 차원 안정성 문제를 해결하기 위해 연속적인 척도의 차원을 도입하고자 한다.
• 재배열된 집합이 차원을 유지하거나 변화시키는 조건을 규명하고자 하며, 특히 Φ-함수의 점근적 행동과의 관계를 분석하고자 한다.

제안 방법

• . 저자들은 r ≤ R^{1+Φ(R)} 조건을 만족하는 스케일 비율 r ≤ R에 제한함으로써 상한 및 하한 Φ-차원을 정의하며, 아소우드 차원과 θ-아소우드 스펙트럼을 일반화한다.
• 감소하는 간격을 가진 칸토어 유형 집합의 재귀적 구성 기법을 사용하여, 중간 차원이 연속적으로 변화하는 예를 구성한다.
• 구역을 덮기 위해 필요한 r-구의 수를 추정함으로써 증명을 수행하며, 덮개 추론과 기하학적 경계를 활용한다.
• 구축된 집합의 간격 감쇠율과 블록 구조의 분석을 통해 Φ-차원의 연속성과 안정성 성질을 확립한다.
• 핵심 기술적 도구는 균일한 덮개 추정(Claim 1)으로, Nr(B(z,R) ∩ Ak) ≤ C (min(|Ak|, R)/r)^d 를 보여주며, 덮개 수의 성장률을 제어한다.
• Φ(x)의 점근적 행동을 분석하여, x → 0 일 때 Φ(x) → ∞ 이면 차원이 상자 차원으로 수렴하고, Φ(x) → δ ∈ (0,∞) 이면 θ = (1+δ)^{-1} 인 상한 및 하한 θ-아소우드 스펙트럼과 일치함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 . R 내의 단일 컴팩트 집합이 퀼라아소우드 차원과 아소우드 차원 사이에 연속적인 중간 차원의 구간을 가질 수 있는가?
• RQ2 . 중간 Φ-차원은 이중 리프시츠 사상과 집합 재배열 하에서 어떻게 행동하는가?
• RQ3 . Φ(x)의 점근적 감쇠율과 결과적으로 얻어지는 차원 값 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 . 감소하는 간격을 가진 집합은 반드시 아소우드 경우와 마찬가지로 차원 0 또는 1을 가져야 하는가?
• RQ5 . 중간 차원은 표준 아소우드 차원 또는 상자 차원보다 더 세밀한 기하학적 구별을 감지할 수 있는가?

주요 결과

• . 저자들은 칸토어 집합 E = A ∪ B 를 구성하여, Φ가 변화함에 따라 dimΦE 가 [d, 1] 에서 연속적으로 변함을 보였다. 양 끝점은 각각 퀼라아소우드 차원과 아소우드 차원에 해당한다.
• . 임의의 d ∈ [dimΦCa, 1) 에 대해, dimΦE = d 를 만족하는 집합 E ∈ Ca 가 존재함을 보여주며, 이는 중간 차원이 전체적인 값의 구간을 실현할 수 있음을 입증한다.
• . Φ(x) → ∞ 이고 x → 0 일 때, 상한 및 하한 Φ-차원은 상한 및 하한 상자 차원으로 수렴한다.
• . Φ(x) → δ ∈ (0, ∞) 일 때, 상한 및 하한 Φ-차원은 θ = (1+δ)^{-1} 인 상한 및 하한 θ-아소우드 스펙트럼과 일치한다.
• . 감소하는 간격을 가진 집합 A ∪ B 의 퀼라아소우드 차원은 정확히 d 이며, 간격 감소에도 불구하고 차원이 0 또는 1이 아니라는 점을 보여주며, 이러한 집합이 반드시 차원 0 또는 1을 가져야 한다는 가정을 반박한다.
• . 합집합 결과(정리 2.4)에 따르면, dimΦA = d 이고 dimΦB = dimΦCa 이므로, 전체 집합 E = A ∪ B 에 대해 dimΦE = d 임을 보장한다.