[논문 리뷰] Intermediately trimmed strong laws for Birkhoff sums on subshifts of finite type

Marc Keßeböhmer, Tanja I. Schindler|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 13.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 34인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 새로운 바나흐 공간인 준- Hölder 연속 함수의 공간을 도입함으로써 유한형 하위시프트에서의 Birkhoff 합에 대한 중간 절단 강한 법칙을 수립한다. 이는 스펙트럼 갭 분석을 가능하게 하며, 이는 이전의 구간 맵에서의 결과를 기호 동역학으로 확장한다. 주요 기여는 정규 분포가 아닌 꼬리가 규칙적으로 변화하는 관측량(예: St. Petersburg 유형 분포)에 대해, 적절한 수열로 정규화한 중간 절단 합이 거의 확실히 1로 수렴함을 증명하는 것이다.

ABSTRACT

We prove strong laws of large numbers under intermediate trimming for Birkhoff sums over subshifts of finite type. This gives another application of a previous trimming result only proven for interval maps. In case of Markov measures we give a further example of St.\ Petersburg type distribution functions. To prove these statements we introduce the space of quasi-H\"older continuous functions for subshifts of finite type.

연구 동기 및 목표

• 조각별로 확장되는 구간 맵에서의 중간 절단 강한 법칙을 하위시프트 유형으로 확장하는 것.
• 동역학 시스템 설정에서 표준 리프시츠 함수가 스펙트럼 갭 및 절단 조건을 충족하지 못하는 데서 기인하는 실패를 극복하는 것.
• 스펙트럼 이론에 적합한 더 큰 바나흐 공간으로서 준- Hölder 연속 함수의 공간을 도입하고 분석하는 것.
• Gibbs-Markov 측도의 맥락에서 절단된 합에 대한 새로운 극한 정리 수립 및 St. Petersburg 유형 분포의 정밀한 분석을 제공하는 것.
• 독립 동일분포 확률변수 시퀀스와 정규 분포가 규칙적으로 변화하는 尾 꼬리 분포를 가진 다수의 동역학 시스템에 대해 동일한 절단 및 정규화 수열이 적용된다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 하위시프트 유형에서 정의된, 측도 기반 거리에 따른 수축하는 구간에서의 진동을 포함하는 노름을 사용하는 새로운 바나흐 공간인 준- Hölder 연속 함수의 공간을 도입한다.
• 이 공간이 바나흐 대수를 이룬다는 것을 증명하고, 이는 이동 사상과 관련된 전이 연산자에 대한 스펙트럼 갭을 지원함을 보인다.
• 잠재 함수에 대한 적절한 조건 하에서 이 공간에서의 전이 연산자가 스펙트럼 갭 성질을 만족함을 증명한다.
• 스펙트럼 갭을 이용해 이전 연구(KS18)에서 제시된 Property D 조건을 확인하고, 중간 절단 강한 법칙의 적용을 가능하게 한다.
• Birkhoff 합에서 가장 큰 bn 개의 합성항을 제거하는 방식으로 중간 절단을 정의하며, bn = o(n) 이고, 정규화 후 거의 확실히 1로 수렴함을 도출한다.
• 이론을 마르코프 측도에 적용하고, 하위시프트에서 St. Petersburg 유형 분포의 구체적 예를 구성하여, 독립 동일분포 사례와 동일한 절단 및 정규화가 적용됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 리프시츠 함수가 스펙트럼 및 절단 조건을 충족하지 못하는 하위시프트 유형으로 중간 절단 강한 법칙을 구간 맵에서 확장할 수 있는가?
• RQ2 준- Hölder 연속 함수의 공간이 비가역 관측량에 대해 기호 동역학에서 스펙트럼 갭 분석에 적합한 프레임워크를 제공하는가?
• RQ3 정규 분포가 아닌 꼬리가 규칙적으로 변화하는 관측량(예: α ∈(−1,0))에 대해, 동일한 절단 수열 bn 및 정규화 수열 dn 이 독립 동일분포 사례와 동일하게 거의 확실히 수렴하는가?
• RQ4 특히 Gibbs-Markov 측도 맥락에서 비가역 랜덤 변수에 대한 절단된 합 이론을 어떻게 개선할 수 있는가?
• RQ5 하위시프트 유형에서 St. Petersburg 유형 분포는 중간 절단 하에서 독립 동일분포 사례와 동일한 渐近적 행동을 보이는가?

주요 결과

• 준- Hölder 연속 함수의 공간은 바나흐 대수를 이루며, 이는 하위시프트 유형에서 전이 연산자에 대한 스펙트럼 갭을 지원하는 노름을 지닌다.
• 이 공간에서의 전이 연산자는 스펙트럼 갭 성질을 만족하며, 이는 이전 연구(KS18)에서의 중간 절단 결과 적용을 가능하게 한다.
• 정규 분포가 아닌 꼬리가 규칙적으로 변화하는 관측량(α ∈(−1,0))에 대해, 독립 동일분포 사례와 동일한 bn 및 dn 수열을 사용한 중간 절단 강한 법칙이 성립한다.
• 논문은 Gibbs-Markov 측도를 갖는 하위시프트에서 St. Petersburg 유형 분포의 구체적 예를 구성하여 동일한 정규화가 적용됨을 보여준다.
• 절단된 합 Tfn_n χ 는 독립 동일분포 사례와 동일한 조건 하에서 거의 확실히 수렴하며, 이는 이전 결과보다 절단 수열 조건을 완화함으로써 향상된 것이다.
• 실린더 함수에 의한 근사화를 통해 준- Hölder 노름에서 단위 구의 컴팩턴스를 증명함으로써, 부분수열의 수렴을 보장하고 스펙트럼 이론을 뒷받침한다.