[논문 리뷰] Intermittency of dynamical phases in a quantum spin glass

Vadim Smelyanskiy, Kostyantyn Kechedzhi외 3명|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 02.

Theoretical and Computational Physics참고 문헌 1인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 양자 스핀 거친의 고유스펙트럼에서 에너지 밴드가 두 종류의 비에르고딕 확장 고유상태(NEE)인 $z$-형태(고전적 스핀 거친의 구조를 이어받고 장수명의 붕괴 시간을 가짐)와 $x$-형태(정수 $x$-자기모멘트를 보존함) 사이에서 번갈아가며 나타나는 새로운 간헐적 구조를 발견하고 분석적으로 기술한다. 주요 결과는 이러한 NEE 밴드—다른 랜덤 매트릭스 엔세임에 의해 지배됨—이 낮은 에너지 스핀 공간 내에서 인구 전이를 위한 새로운 양자 알고리즘을 가능하게 하며, 높은 횡방향 자기장에서도 성립하며, 통계적으로 특징이 없는 랜덤 에너지 모델에서도 나타나므로 실용적인 NP-난이도 문제와의 관련성을 시사한다.

ABSTRACT

Answering the question of existence of efficient quantum algorithms for NP-hard problems require deep theoretical understanding of the properties of the low-energy eigenstates and long-time coherent dynamics in quantum spin glasses. We discovered and described analytically the property of asymptotic orthogonality resulting in a new type of structure in quantum spin glass. Its eigen-spectrum is split into the alternating sequence of bands formed by quantum states of two distinct types ($x$ and $z$). Those of $z$-type are non-ergodic extended eigenstates (NEE) in the basis of $\{σ_z\}$ operators that inherit the structure of the classical spin glass with exponentially long decay times of Edwards Anderson order parameter at any finite value of transverse field $B_{\perp}$. Those of $x$-type form narrow bands of NEEs that conserve the integer-valued $x$-magnetization. Quantum evolution within a given band of each type is described by a Hamiltonian that belongs to either the ensemble of Preferred Basis Levi matrices ($z$-type) or Gaussian Orthogonal ensemble ($x$-type). We characterize the non-equilibrium dynamics using fractal dimension $D$ that depends on energy density (temperature) and plays a role of thermodynamic potential: $D=0$ in MBL phase, $0

연구 동기 및 목표

• 양자 스핀 거친의 저에너지 고유상태와 장시간에 걸친 협동 동역학의 구조를 이해함으로써 양자 알고리즘에 핵심적인 영향을 미침.
• 양자 스핀 거친 고유스펙트럼에서 두 가지 다른 NEE 유형이 번갈아가는 방식으로 나타나는 새로운 종류의 간헐적 구조를 규명하고 특성화함.
• 이 간헐적 구조가 통계적으로 특징이 없는 랜덤 에너지 모델에서도 나타나므로 실용적인 NP-난이도 문제와의 관련성을 시사함.
• 고유상태의 프랙탈 차원 $D$를 열역학적 행동과 연결함: $D=0$ (MBL), $0<D<1$ (NEE), $D\to1$ (에르고딕)는 무한 온도에서 성립함.
• 저에너지 영역 내에서 NEE 밴드 내 인구 전이를 기반으로 한 새로운 양자 검색 유사 알고리즘을 제안함.

제안 방법

• 양자 스핀 거친 해밀토니안 $H = H_{\rm cl} + H_D$ 의 고유스펙트럼의 해석적 유도를 수행함. 여기서 $H_{\rm cl}$ 은 고전적 스핀 거친을 표현하고, $H_D = -B_\perp \sum \sigma_x^k$ 는 횡방향 터널링을 도입함.
• 고유상태를 두 유형으로 분류함: $z$-형태(고유스펙트럼의 $\sigma_z$ 기저에서 비에르고딕 확장, 고전적 스트럭처를 이어받음)와 $x$-형태(비에르고딕 확장이지만 $x$-자기모멘트를 보존함).
• 각 밴드 내에서의 양자 동역학을 랜덤 매트릭스 엔세임으로 모델링함: $z$-형태는 선호 기저 레비 매트릭스를, $x$-형태는 가우시안 직교 엔세임(GOE)을 사용함.
• 프랙탈 차원 $D$ 를 국소화에서 에르고딕 상태로의 전이를 특성화하는 열역학적 잠재력으로 정의함: $D=0$ 은 MBL에서, $0<D<1$ 은 NEE에서, $D\to1$ 은 무한 온도에서의 에르고딕 상태에서 성립함.
• 에너지 및 자기장 매개변수에 따라 $x$-형태와 $z$-형태 고유상태의 상대 밀도를 결정하기 위해 누적 상태 수 지수 $\gamma_{x,z}(e, B_\perp)$ 를 계산함.
• 상전이 선을 $\gamma_z(e)$ 와 $\gamma_x(e, B_\perp)$ 가 동일한 조건에서 유도함. 즉, $\Delta\gamma = \gamma_z(e) - \gamma_x(e, B_\perp) = 0$ 이며, 양상태 유형의 유한온도 분할 함수를 사용하여 검증함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 스핀 거친은 두 가지 다른 비에르고딕 확장 고유상태 유형이 번갈아가는 간헐적 고유스펙트럼을 보이며, 이는 새로운 양자 알고리즘의 기초가 되는가?
• RQ2 이러한 밴드 내에서 장시간에 걸친 협동 동역학은 알려진 랜덤 매트릭스 엔세임으로 기술될 수 있으며, $z$-형태와 $x$-형태 간에 어떤 차이가 있는가?
• RQ3 고유상태의 프랙탈 차원 $D$ 는 스펙트럼 전반에서 국소화에서 에르고딕 상태로의 전이를 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 이 간헐적 구조는 통계적으로 특징이 없는 랜덤 에너지 모델에서도 나타나는가? 이는 실용적인 NP-난이도 문제와의 관련성을 암시하는가?
• RQ5 누적 상태 수 지수 $\gamma_{x,z}$ 를 통해 $x$-형태와 $z$-형태 고유상태의 상대 밀도를 정량화할 수 있으며, 상전이의 위치는 어디인가?

주요 결과

• 양자 스핀 거친의 고유스펙트럼은 $z$-형태와 $x$-형태의 비에르고딕 확장 고유상태(NEE)가 번갈아가며 형성된 밴드로 분할되며, $z$-형태 고유상태는 고전적 스핀 거친의 구조를 이어받고, 유한한 $B_\perp$ 에서 에드워즈-애너드 순서 파라미터의 지수적 장수명 붕괴를 보임.
• $x$-형태 NEE는 정수 $x$-자기모멘트를 보존하는 좁은 밴드를 형성하며, 그 동역학은 가우시안 직교 엔세임(GOE)에 의해 지배되고, $z$-형태 NEE는 선호 기저 레비 매트릭스 엔세임에 따라 동작함.
• 프랙탈 차원 $D$ 는 열역학적 잠재력으로 작용함: MBL 상태에서는 $D=0$, NEE 상태에서는 $0<D<1$, 무한 온도에서의 에르고딕 상태에서는 $D\to1$.
• MBL 상태와 NEE 상태는 큰 $B_\perp$ 에서도 동일한 에너지 범위 내에서 공존함을 시사하며, 이는 국소화와 확장 행동이 이 모델에서 상호 배제적이지 않음을 나타냄.
• 상전이가 발생하는 조건은 $\Delta\gamma = \gamma_z(e) - \gamma_x(e, B_\perp) = 0$ 일 때이며, 저에너지 밀도 $e \ll 1$ 에서 임계점은 $B_\perp = 1/\sqrt{2}$ 에서 발생함.
• $x$-상태의 분할 함수 보정은 무시할 수 있을 정도로 작음 ($\mathcal{O}(2^{-\alpha n})$), 이는 저온 근사에서 자유 스핀 결과를 사용하는 것이 타당함을 검증함. 반면 $z$-상태의 자유 에너지는 QREM의 고전적 복제해와 일致함.