[논문 리뷰] Internal categories, anafunctors and localisations

David Roberts|arXiv (Cornell University)|2011. 01. 12.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 32인용 수 30

한 줄 요약

이 논문은 사이트에 대한 약한 조건이 만족될 경우, 내부 범주 및 군화의 2범주에서 약한 동치에 대한 이중범주적 국소화의 표준적이고 크기가 제어된 구성법을 anafunctor가 제공함을 증명한다. 사이트가 커버에 沿한 기저 전환을 허용하고 WISC를 만족할 경우, 해당 국로화는 국소적으로 본질적으로 작다. 이는 스택 이론과 고차 범주론에서 이전의 구성들을 통합하고 단순화한다.

ABSTRACT

In this article we review the theory of anafunctors introduced by Makkai and Bartels, and show that given a subcanonical site S, one can form a bicategorical localisation of various 2-categories of internal categories or groupoids at weak equivalences using anafunctors as 1-arrows. This unifies a number of proofs throughout the literature, using the fewest assumptions possible on S.

연구 동기 및 목표

• 스택 이론에서 내부 범주 및 군화에 대한 국로화 기법을 통합하고 단순화하는 것.
• Anafunctor가 이중범주적 국로화에 대한 표준적이고 계산 가능성이 있는 구성법을 제공함을 보이는 것.
• 이러한 국로화가 국소적으로 본질적으로 작게 되는 조건을 확립하여 전체 선택 공리에 의존하지 않도록 하는 것.
• 선택 공리 없이도 작동하는 범주, 예를 들어 구조적 토포스나 위상적 사이트와 같은 환경에서 고전적 범주 동치 결과를 내부 설정으로 일반화하는 것.
• 초광범위 사이트에서는 일반적인 커버링 가족을 분리합으로써 단일 커버로 대체할 수 있으며, 이는 anafunctor 구성에서 손실 없이 단순화됨을 보여주는 것.

제안 방법

• 기본 부위가 전부 충실하고 객체 집합을 커버하는 스파이너로 구성된, 1-화살표로서 anafunctor를 사용하여 분수의 이중범주를 구성한다.
• Pronk의 2범주를 위한 분수의 계산법을 적용하지만, 일반적인 스파이너 대신 anafunctor를 사용하여 구성의 단순화를 도모한다.
• 기저 전환 조건을 도입: 전토법의 임의의 커버에 대해, 객체 성분이 그 커버와 같은 부분 2범주 내의 전부 충실한 함자를 제공한다.
• 지역적 본질적 작성성을 보장하는 최소 크기 가정으로서 WISC(약한 커버 집합의 초기 집합)를 도입한다.
• 초광범위 사이트를 활용하여 일반적인 커버링 가족을 쌍대합을 통해 단일 커버로 대체함으로써 전토법을 단순화하고, 결과로 얻는 anafunctor 이중범주에 영향을 주지 않는다.
• 광범위한 위상에 대한 스택은 단일 전토법 ⨿J로의 전환에 의해 변화하지 않으며, 이는 스택 이론적 응용에서의 단순화를 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Anafunctor를 사용하여 선택 공리를 피하면서 내부 범주에 대한 약한 동치에 대한 국로화를 구성할 수 있는가?
• RQ2 사이트 (S, J)가 어떤 조건을 만족할 경우 anafunctor의 이중범주가 국소적으로 본질적으로 작게 되는 국로화를 제공하는가?
• RQ3 초광범위 사이트의 구조는 anafunctor와 관련된 국로화의 구성을 어떻게 단순화하는가?
• RQ4 기저 전환과 WISC 조건이 만족될 경우, 내부 범주의 2범주가 J-동치에 대한 국로화가 anafunctor의 이중범주와 동치가 되는가?
• RQ5 초광범위 사이트에서 전토법을 일반적인 커버의 분리합으로 이루어진 단일 전토법 ⨿J로 대체해도 결과로 얻는 국로화에 영향을 주지 않는가?

주요 결과

• 기저 전환이 성립할 경우, anafunctor는 J-동치에 대한 내부 범주의 국로화를 모델링하는 잘 정의된 이중범주 Cana(J)를 형성한다.
• C → Cana(J) 포함은 J-동치의 클래스에서의 국로화이며, 문헌에 있는 이전의 구성들을 통합하고 단순화한다.
• 사이트 (S, J)가 WISC를 만족할 경우, 국로화는 국소적으로 본질적으로 작다. 즉, 호모트로피 범주들이 작고 범주와 동치이다.
• 초광범위 사이트에서는 전토법을 ⨿J(커버의 분리합)로 대체할 수 있으며, 이는 동치인 anafunctor 이중범주를 얻는다.
• 초광범위 사이트에서 약한 2함수에 대한 관련 스택은 원래 전토법에서 ⨿J로의 전환에 의해 변화하지 않으며, 이는 스택화를 단순화한다.
• WISC는 ZF¬AC와 독립적이므로, 전체 선택 공리가 실패할 수 있는 모델, 예를 들어 Surjections를 커버로 삼는 Set¬AC에서도 결과가 유지된다.