[논문 리뷰] Internal Parametricity for Cubical Type Theory

Evan Cavallo, Robert Harper|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 02.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 31인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 입체형 유형 이론의 고차원 경로와 매개변수형 이론의 관계적 다리 구조를 통합한 유형 이론을 제안하며, 내부적 매개변수성과 일치성(univalence)을 가능하게 한다. 이 이론은 상대성(relativity)—일치성의 관계적 대응체—를 수립하고, 일관된 호모토피 이론적 프레임워크 내에서 구조적 추론을 통해 고차형 인도유형(HIT)에 대한 자유정리(free theorems)를 증명하는 데 응용한다. 이는 스매시 곱과 같은 고차형 인도유형에 대해 적용 가능하다.

ABSTRACT

We define a computational type theory combining the contentful equality structure of cartesian cubical type theory with internal parametricity primitives. The combined theory supports both univalence and its relational equivalent, which we call relativity. We demonstrate the use of the theory by analyzing polymorphic functions between higher inductive types, and we give an account of the identity extension lemma for internal parametricity.

연구 동기 및 목표

• 차원 변수를 통해 입체형 이론의 고차원적 구조와 매개변수형 이론의 관계적 추론을 통합한다.
• 구성적 유형 이론 내에서 상대성(relativity)—일치성의 관계적 대응체—를 내재화한다.
• 스매시 곱과 같은 고차형 인도유형에 대한 다형 함수에 대한 형식적 추론을 가능하게 한다.
• 특정 형태의 배타적 중복 법칙의 부정과 이론이 일관됨을 보여준다.
• 다른 유형 이론의 방법론을 확장하여 다리-이산형 유형(bridge-discrete types)을 도입하고, bool과 같은 데이터 유형의 다리 유형을 상대성으로 특성화한다.

제안 방법

• 경로를 위한 구조적(structural) 차원 변수와 다리를 위한 부구조적(substructural) 차원 변수를 가진 유형 이론을 도입하며, 이들의 역할을 유지한다.
• 다리 유형이 칸(Kan) 성질을 만족하도록 입체형 이론의 칸 조건을 수정하여, 매개변수 설정에서 경로 유사 추론이 가능하도록 한다.
• 유일성(univalence)을 통해 I-집합의 필요성을 제거하기 위해, 우주 내 다리 유형과 관계 사이의 동치성을 상대성으로 정의한다.
• 함수의 외삽성과 η-규칙을 사용하여 스매시 곱에 대해 다리 유형 내에서 함수 간의 경로 등가성을 구성한다.
• 일반적인 보조정리와 재진입(retract) 추론을 적용하여 핵심 다형 유형이 집합임을 보이며, 이를 통해 증명의 무관성(proof irrelevance)을 가능하게 한다.
• 경로 연결성의 특성을 모델링하기 위해 ∧-그래프x 및 글루(glue)/글루어(gluer)와 같은 명시적 항목을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유형 이론이 경로 유형과 다리 유형을 통합함으로써 일치성과 매개변수성을 모두 내재화할 수 있는가?
• RQ2 입체형 설정에서 상대성—관계적 일치성—은 어떻게 형식화될 수 있으며, 이를 통해 고차형 인도유형에 대한 자유정리를 지원할 수 있는가?
• RQ3 다리-이산형 유형은 bool과 같은 인도유형의 관계적 해석을 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 내부적 매개변수성을 사용하여 스매시 곱의 모나이드 구조를 구성적으로 어떻게 증명할 수 있는가?
• RQ5 통합된 이론은 특정 형태의 배타적 중복 법칙의 부정과 일관된가?

주요 결과

• 유형 P := (X∗, Y∗:U∗) →X →Y →X∗∧Y∗는 재진입을 통해 bool로 증명된 집합이며, 이는 자유정리에 대한 증명의 무관성을 보장한다.
• 일반적인 보조정리는 다형 함수 f : P 가 bool에서의 행동에 의해 경로 등가성까지 유일하게 결정됨을 보여주며, 이러한 함수의 분류를 가능하게 한다.
• 주요 정리는 임의의 기본점 보존 함수 f∗: (X∗, Y∗:U∗) →X∗∧∗Y∗→∗X∗∧∗Y∗ 가 생성자와 기본점에서의 행동에 의해 경로 등가성까지 유일하게 결정됨을 보여준다.
• f∗ 가 글루얼(gluel) 및 글루어(gluer) 항목에서의 행동은 기본점 보존 조건과 P 내의 경로 구조에 의해 경로 수준에서 유일하게 결정된다.
• 이론은 스매시 곱과 같은 HIT에 대해 일관된 조화성(coherence)의 구성적 증명을 지원하며, 일반적으로 복잡한 증명을 피한다.
• 통합된 이론은 PER 의미론을 통해 (일부 형태의) 배타적 중복 법칙의 부정과 일관되며, 이를 증명한다.