[논문 리뷰] Internal quark symmetries and colour SU(3) entangled with Z_3-graded Lorentz algebra

Richard Kerner, J. Lukierski|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 09.

Particle physics theoretical and experimental studies참고 문헌 30인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 내부 쿼크 대칭—색 SU(3), 맛 SU(2), 가족 SU(3)—을 통합하기 위해 레이저 대수의 Z3-등급 확장을 제안한다. 이는 72개 성분을 가진 마스터 쿼크 장을 통해 이루어지며, 삼중 클리포드 대수를 기반으로 한 Z3-등급 질량 매개변수(실수 하나, 복소수 쌍 두 개)를 가진 12개 성분의 색이 있는 디рак 방정식을 구성함으로써, Z3-등급 레이저 대수의 충실한 스핀어럴 표현을 실현한다. 이는 표준모형의 모든 쿼크 자유도를 6개의 12개 성분 장을 통해 통합적으로 기술할 수 있게 한다.

ABSTRACT

In the current version of QCD the quarks are described by ordinary Dirac fields, organized in the following internal symmetry multiplets: the $SU(3)$ colour, the $SU(2)$ flavour, and broken $SU(3)$ providing the family triplets. oindent In this paper we argue that internal and external (i.e. space-time) symmetries are entangled at least in the colour sector in order to introduce the spinorial quark fields in a way providing all the internal quark's degrees of freedom which do appear in the Standard Model. Because the $SU(3)$ colour algebra is endowed with natural $Z_3$-graded discrete automorphisms, in order to introduce entanglement the $Z_3$-graded version of Lorentz and Poincar\'e algebras with their realizations are considered. The colour multiplets of quarks are described by $12$-component colour Dirac equations, with a $Z_3$-graded triplet of masses (one real and a Lee-Wick complex conjugate pair). We argue that all quarks in the Standard Model can be described by the $72$-component master quark sextet of $12$-component coloured Dirac fields.

연구 동기 및 목표

• 내부 쿼크 대칭—색 SU(3), 맛 SU(2), 가족 SU(3)—을 단일 대수적 프레임워크 내에서 통합하기.
• 쿼크를 표준 4개 성분의 디рак 장으로 간주할 경우 발생하는 운동역학적 불일치 문제를 해결하기 위해, Z3-등급 구조를 가진 12개 성분의 색이 있는 디рак 장을 도입함으로써 기존의 접근 방식을 보완하기.
• Z3-등급 레이저 대수의 충실한 스핀어럴 표현을 구성하여, 6개의 12개 성분 장에 작용함으로써 72개 성분의 마스터 쿼크 장를 유도하기.
• j = e^{2πi/3}를 가진 Z3-등급 질량 삼중항 (m, jm, j²m)을 실현함으로써, 복소수 파동 벡터와 감쇠 지수적 해를 갖는 자유 쿼크 역학을 가능하게 하기.
• Z3-등급 클라인-고든 장에 대한 전파함수와 진동자 대수를 정의함으로써, 향후 양자화 및 게이지 결합을 위한 운동역학적 기초를 마련하기.

제안 방법

• 3×3 행렬 Q₁, Q₂, Q₃ 및 그 에르미트 수반을 기반으로 한 삼중 클리포드 대수를 사용하며, Z3-등급은 grade(Qₖ) = 1, grade(Q†ₖ) = 2로 정의된다.
• M₃(ℂ) ⊗ H₂ ⊗ H₂의 텐서곱을 통해 12×12의 일반화된 디рак Γμ 행렬을 구성한다. 여기서 M₃(ℂ)은 SU(3) 색 대칭을, H₂는 스핀어럴 자유도를 나타낸다.
• Z3-등급 질량 삼중항 m (실수), jm, j²m (복소수 쌍)을 도입하여, 제6차 클라인-고든 유사 파동 방정식을 도출한다.
• Z3-등급 레이저 대수 L = L⁽⁰⁾ ⊕ L⁽¹⁾ ⊕ L⁽²⁾의 벡터적 및 스핀어럴 표현을 구성하며, 이는 4모멘텀 벡터의 삼중항과 72개 성분의 마스터 장에 작용한다.
• 제6차 방정식을 복소수 질량을 가진 세 개의 결합된 클라인-고든 방정식으로 분해함으로써, Z3-등급 쿼크 장에 대한 전파함수를 유도한다.
• Z3-등급 디рак 행렬에서 유도된 투영 연산자를 통해, Z3-코Variant을 유지하는 쿠아르 색 스핀어럴을 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 내부 쿼크 대칭(색, 맛, 세대)이 Z3-등급 레이저 대수의 단일 기약 표현 내에서 통합될 수 있는가?
• RQ2 Z3-등급 질량 매개변수를 가진 12개 성분의 색이 있는 디рак 장이 표준모형과 일관되게 모든 쿼크 자유도를 기술할 수 있는가?
• RQ3 Z3-등급 레이저 대수의 스핀어럴 표현의 구조는 어떠한가? 그리고 이는 72개 성분의 마스터 장에 충실하게 어떻게 작용하는가?
• RQ4 Z3-등급 질량 매개변수 (m, jm, j²m)는 분산 관계를 어떻게 수정하며, 자유 쿼크 역학에서 감쇠 지수적 해를 어떻게 유도하는가?
• RQ5 Z3-등급 페르미온 장의 양자화와 Z3-코Variant 메트릭을 갖는 진동자 대수를 정의하기 위한 운동역학적 기초는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 6개의 12개 성분의 색이 있는 디랙 장으로 구성된 72개 성분의 마스터 쿼크 장를 구성하며, 이는 Z3-등급 레이저 대수의 충실한 스핀어럴 표현을 실현한다.
• 자유 쿼크 역학은 제6차 파동 방정식으로 제어되며, 이는 질량 m, jm, j²m를 가진 세 개의 클라인-고든 연산자의 곱으로 분해되며, 복소수 파동 벡터와 감쇠 해를 유도한다.
• Z3-등급 질량 삼중항 (m, jm, j²m)은 Z3 대칭에 대해 코Variant하며, j = e^{2πi/3}를 만족하며, 잔여 인자(1, j, j²)를 가진 세 가지의 서로 다른 힐버트-포크 공간 메트릭을 정의하는 세 가지의 서로 다른 전파함수를 유도한다.
• 12×12의 일반화된 디рак 행렬은 Qₖ와 Q†ₖ를 생성자로 가지며, Z3-등급 교환관계를 만족하고 닫힌 대수적 구조를 형성한다.
• Z3-등급 레이저 대수의 벡터적 표현은 4모멘텀 벡터의 삼중항(실수 하나, 복소수 쌍 두 개)에 작용하며, 운동량 공간에서 Z3 대칭을 유지한다.
• 이 프레임워크는 자연스럽게 편극 맛 이중체를 포함하며, 일반화된 디랙 행렬에서 유도된 Z3-코Variant 투영 연산자를 통해 쿠아르 색 스핀어럴을 정의할 수 있다.