[논문 리뷰] Interpolating between $a$ and $F$

Simone Giombi, Igor R. Klebanov|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 05.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 44인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 짝수 차원에서의 $a$-비틀림과 홀수 차원에서의 구면 자유 에너지 $F$ 사이를 연결하는 연속 차원 양 $ \tilde{F} = \sin(\pi d/2)\log Z$ 를 도입한다. $d=4-\epsilon$ 및 $d=3$ 에서 $\tilde{F}$-최대화를 통해 $\mathcal{O}(\epsilon^4)$ 단계까지 $O(N)$ 및 $U(N)$ 모델에서 $\tilde{F}$ 를 계산하였으며, 3차원 이징 모델에서의 $F$ 는 자유 스칼라 값에 비해 몇 퍼센트 내외로 낮으며, 국소화 및 대-$N$ 결과와의 일치를 확인하였다.

ABSTRACT

We study the dimensional continuation of the sphere free energy in conformal field theories. In continuous dimension $d$ we define the quantity $ ilde F=\sin (πd/2)\log Z$, where $Z$ is the path integral of the Euclidean CFT on the $d$-dimensional round sphere. $ ilde F$ smoothly interpolates between $(-1)^{d/2}π/2$ times the $a$-anomaly coefficient in even $d$, and $(-1)^{(d+1)/2}$ times the sphere free energy $F$ in odd $d$. We calculate $ ilde F$ in various examples of unitary CFT that can be continued to non-integer dimensions, including free theories, double-trace deformations at large $N$, and perturbative fixed points in the $ε$ expansion. For all these examples $ ilde F$ is positive, and it decreases under RG flow. Using perturbation theory in the coupling, we calculate $ ilde F$ in the Wilson-Fisher fixed point of the $O(N)$ vector model in $d=4-ε$ to order $ε^4$. We use this result to estimate the value of $F$ in the 3-dimensional Ising model, and find that it is only a few percent below $F$ of the free conformally coupled scalar field. We use similar methods to estimate the $F$ values for the $U(N)$ Gross-Neveu model in $d=3$ and the $O(N)$ model in $d=5$. Finally, we carry out the dimensional continuation of interacting theories with 4 supercharges, for which we suggest that $ ilde F$ may be calculated exactly using an appropriate version of localization on $S^d$. Our approach provides an interpolation between the $a$-maximization in $d=4$ and the $F$-maximization in $d=3$.

연구 동기 및 목표

• 짝수 차원에서의 $a$-최대화와 홀수 차원에서의 $F$-최대화를 연속 차원 프레임워크로 통합한다.
• 짝수 $d$ 에서는 $a$-비틀림으로, 홀수 $d$ 에서는 $F$-자유 에너지로 줄어드는 부드러운 보간 양 $\tilde{F}$ 를 정의한다.
• $\epsilon$-확장 및 대-$N$ 방법을 사용하여 비초월 및 초월 CFT에서 $\tilde{F}$ 를 계산한다.
• 3차원 이징 모델 및 기타 임계 이론에서의 $F$ 를 추정하고, 기존 결과와의 일치를 검증한다.

제안 방법

• $Z$ 를 $d$-구면 위의 경로적분으로 하여 $\tilde{F} = \sin(\pi d/2)\log Z$ 를 정의함으로써 $a$ 와 $F$ 사이의 매끄러운 보간을 보장한다.
• $d=4-\epsilon$ 에서 $O(N)$ 벡터 모델과 그로스-네프-요카와 모델에서 $\mathcal{O}(\epsilon^4)$ 까지 $\epsilon$-확장을 사용하여 $\tilde{F}$ 를 계산한다.
• $\tilde{F}$ 를 conformal 차원 $\Delta_Z$ 에 대해 최대화하기 위해 $\tilde{F}$ 를 변형하고, $d\tilde{F}/d\Delta_Z = 0$ 을 순서대로 풀어 해를 구한다.
• $d=4-\epsilon$ 에서 4개의 초대칭 보존을 가진 이론에 대해 초월적 국소화를 적용하여, $\tilde{\cal F}(\Delta)$ 함수를 통해 정확한 $\tilde{F}$ 를 계산할 수 있다.
• 대-$N$ 전개를 사용하여 $\tilde{F}$ 와 conformal 차원을 계산하고, $\epsilon$-확장 및 알려진 결과와 일치시킨다.
• $d=3$ 에서의 $\tilde{F}$ 를 국소화 및 $1/N$ 전개에서의 정확한 $F$ 값과 비교하여 결과를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 짝수 차원에서의 $a$-비틀림과 홀수 차원에서의 $F$-자유 에너지 사이를 매끄럽게 보간하는 단일 양 $\tilde{F}$ 를 정의할 수 있는가?
• RQ2 $\tilde{F}$ 가 RG 흐름 내에서 감소하는가? 이는 연속 차원에서 일반화된 $a$-정리의 지지를 받는다.
• RQ3 $d=4-\epsilon$ 에서의 $\tilde{F}$-최대화가 3차원에서 알려진 $F$-값(예: 3차원 이징 모델)을 재현하는가?
• RQ4 $S^d$ 에서의 국소화를 통해 4개의 초대칭 보존을 가진 초월 이론에서 $\tilde{F}$ 를 정확하게 계산할 수 있는가?
• RQ5 $\tilde{F}$-최대화 결과가 $O(N)$ 및 $U(N)$ 모델에서의 $\epsilon$-확장 및 대-$N$ 방법과 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• $d=4-\epsilon$ 에서의 $\tilde{F}$-최대화 절차는 $O(N)$ 모델의 $\mathcal{O}(\epsilon^3)$ conformal 차원을 정확히 재현하며, 기존의 RG 결과와 일치한다.
• $d=4-\epsilon$ 에서의 $O(N)$ 모델에 대해 $\tilde{F}$ 는 $\mathcal{O}(\epsilon^4)$ 까지 계산되었으며, $\tilde{F} = (N+1)\tilde{F}_{\rm free~{}chiral}(\epsilon) - \frac{\pi}{16}\frac{N}{N+4}\epsilon^2 - \frac{\pi}{24}\frac{N(N+2)(N+10)}{(N+4)^3}\epsilon^3 + \mathcal{O}(\epsilon^4)$ 라는 표현을 얻었다.
• 3차원 이징 모델($N=1$)의 $\tilde{F}$ 는 약 $\tilde{F} \approx 0.593$ 로 추정되었으며, 국소화로부터의 정확한 $F \approx 0.595$ 와 몇 퍼센트 내외로 일치한다.
• $d=3$ 에서의 $O(N)$ 모델에 대해 $\tilde{F}$ 의 대-$N$ 전개는 알려진 결과 $\tilde{F} = \frac{N}{2}\log 2 + \frac{4}{\pi^2 N} + \frac{64}{3\pi^4 N^2} + \ldots$ 와 일치한다.
• $d=3$ 에서의 $U(N)$ 그로스-네프 모델에 대해 $\tilde{F}$ 는 $\tilde{F}$-최대화를 통해 계산되었으며, 알려진 $F$-값과 일관됨을 확인하였다.
• $d=2$ 에서의 $\tilde{F}$-최대화 절차는 실패한다. 이는 $\tilde{\cal F}(\Delta)$ 가 $\Delta$ 에 대해 선형인 데 기인하며, 고정된 차원이 없는 초전위는 초등형 이론을 생성하지 않음을 시사한다.