[논문 리뷰] Interpolation-Based Model Order Reduction for Polynomial Parametric Systems

Peter Benner, Pawan Goyal|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 26.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 26인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 다항식 매개변수 시스템을 위한 보간 기반 모델 순서 감소(MOR) 방법을 제안하며, 일반화된 다변수 전이 함수와 로에너(Loewner)-유사 알고리즘을 사용하여 고품질의 감소된 순서 모델을 자동으로 구성한다. 이 방법은 원래 시스템의 비선형 구조를 유지하면서 정확하고 효율적인 시뮬레이션을 달성하며, 감소된 시스템의 비선형 항에 대해 CUR 행렬 근사가 계산 비용을 추가로 감소시킨다.

ABSTRACT

In this work, we investigate a model order reduction scheme for polynomial parametric systems. We begin with defining the generalized multivariate transfer functions for the system. Based on this, we aim at constructing a reduced-order system, interpolating the defined generalized transfer functions at a given set of interpolation points. Furthermore, we provide a method, inspired by the Loewner approach for linear and (quadratic-)bilinear systems, to determine a good-quality reduced-order system in an automatic way. We also discuss the computational issues related to the proposed method and a potential application of CUR matrix approximation in order to further speed-up simulations of reduced-order systems. We test the efficiency of the proposed methods via several numerical examples.

연구 동기 및 목표

• 고차원 매개변수 다항 동적 시스템을 위한 자동화된 보간 기반 모델 순서 감소 방법을 개발하기 위해.
• 보간 기반 MOR을 가능하게 하기 위해 d차 다항식 시스템을 위한 일반화된 다변수 전이 함수를 정의하기 위해.
• 선형 및 이차 시스템에서의 로에너 프레임워크를 일반 다항식 매개변수 시스템으로 확장하기 위해.
• 감소된 순서 시뮬레이션에서 계산 복잡도를 줄이기 위해 비선형 항에 대한 CUR 행렬 근사를 사용하기 위해.
• 감소된 모델에서 원래의 비선형 구조를 유지하여 정확도를 향상시키기 위해.

제안 방법

• 매개변수 및 주파수 도메인에서의 입력-출력 행동을 특성화하기 위해 d차 다항식 매개변수 시스템을 위한 일반화된 다변수 전이 함수를 정의하기 위해.
• 매개변수 및 주파수 도메인에서 선택된 보간 점에서 원래 시스템의 일반화된 전이 함수를 보간하는 감소된 순서 시스템을 구성하기 위해.
• 사전 시뮬레이션 데이터가 필요 없이 감소된 순서 모델을 자동으로 생성하기 위해 페트로프-갈레르킨 투영 기반의 로에너 유사 알고리즘을 사용하기 위해.
• 감소된 시스템을 유도하기 위해 일측 또는 이측 투영을 적용하며, 이측 투영이 더 높은 정확도를 제공한다.
• 감소된 시스템의 비선형 항을 압축하기 위해 CUR 행렬 근사를 활용하여 계산 비용을 감소시키면서 정확도를 유지하기 위해.
• 감소된 시스템을 시간 도메인 시뮬레이션에 통합하여 정확도와 효율성을 검증하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 보간 기반 MOR이 선형 및 이차 시스템에서 일반 다항식 매개변수 시스템으로 효과적으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 d차 다항식 시스템을 위한 일반화된 다변수 전이 함수를 어떻게 정의할 수 있으며, 이를 통해 보간 기반 감소를 가능하게 할 수 있는가?
• RQ3 스냅샷 또는 사전 시뮬레이션 자료가 필요 없이 로에너 유사 알고리즘이 고품질의 감소된 순서 모델을 자동으로 생성할 수 있는가?
• RQ4 CUR 행렬 근사는 감소된 비선형 항에서 계산 복잡도를 어느 정도 감소시킬 수 있는가?
• RQ5 감소된 모델에서 원래의 비선형 구조를 유지하면 더 높은 근사 정확도를 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 이측 투영은 일측 투영보다 유의미하게 더 우수한 감소된 순서 모델을 제공하며, 시간 도메인 시뮬레이션에서 상대 오차가 더 낮다.
• 이측 투영과 CUR 근사를 조합하면 높은 정확도를 유지하며, CUR를 사용하지 않은 이측 모델에 비해 정확도가 약간 떨어지지만 매우 미미하다.
• 일측 감소된 시스템에 적용된 CUR 근사도 우수한 성능을 보이며, 다양한 투영 전략에 대한 강건성을 보여준다.
• 가장 우수한 성능을 보인 감소된 시스템(이측 투영 + CUR)의 상대 오차는 모든 시험된 매개변수 값과 입력에서 10^-7 이하로 유지된다.
• 제안된 방법은 원래 비선형성의 다항식 구조를 유지하므로, 구조를 고려하지 않는 접근 방식보다 더 정확한 감소된 순서 모델을 도출한다.
• 로그 형태 또는 무작위로 선택된 보간 점의 사용은 효과적이지만, 오차 추정 기반의 적응형 선택은 효율성을 추가로 향상시킬 수 있다.