[논문 리뷰] Interpolation in the noncommutative Schur-Agler class

Joseph A. Ball, Vladimir Bolotnikov|ArXiv.org|2005. 06. 26.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 53인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 교환 법칙이 성립하는 슈어-아글러 클래스에서 비가환 슈어-아글러 클래스로 고전적 보간 이론을 확장하며, 비가환 바르너스타인 부등식과 보존적인 구조적 다차원 시스템의 선형 분수 전이 함수를 특징으로 한다. 주요 결과는 교환 법칙이 성립하는 데이터를 가진 보간 문제들이 아벨화를 통해 해가 존재하는 교환 법칙이 성립하는 보간 문제로 감소됨을 보이며, 데이터에 대한 정규성 조건이 스테인 유형 행렬 조건에 의해 결정됨을 제시한다.

ABSTRACT

The class of Schur-Agler functions over a domain ${\mathcal D} \subset {\mathbb C}^{d}$ is defined as the class of holomorphic operator-valued functions on ${\mathcal D}$ for which a certain von Neumann inequality is satisfied when a commuting tuple of operators satisfying a certain polynomial norm inequality is plugged in for the variables. Such functions are alternatively characterized as those having a linear-fractional presentation which identifies them as transfer functions of a certain type of conservative structured multidimensional linear system. There now has been introduced a noncommutative version of the Schur-Agler class which consists of formal power series in noncommuting indeterminants satisfying a noncommutative version of the von Neumann inequality when a tuple of operators (not necessarily commuting) coming from a noncommutative operator ball are plugged in for the formal indeterminants. Formal power series in this noncommutative Schur-Agler class in turn are characterized as those having a certain linear-fractional presentation in noncommuting variables identifying them as transfer functions of a recently introduced class of conservative structure multidimensional linear systems having evolution along a free semigroup rather than along an integer lattice. The purpose of this paper is to extend the previously developed interpolation theory for the commutative Schur-Agler class to this noncommutative setting.

연구 동기 및 목표

• 교환 법칙이 성립하는 슈어-아글러 클래스에서 비가환 설정으로 고전적 보간 이론을 확장한다.
• 비가환 변수에 대한 형식적 멱급수에 대한 보존적인 구조적 다차원 시스템을 사용하여 보간 문제를 특징짓는다.
• 교환 법칙이 성립하는 데이터를 가진 보간 문제들이 아벨화를 통해 해가 존재하는 교환 법칙이 성립하는 슈어-아글러 클래스의 문제들로 감소됨을 보인다.
• 비가환 보간 문제의 해결 가능성에 대한 필요 및 충분 조건을 스테인 유형 행렬 조건을 사용하여 유도한다.

제안 방법

• 비가환 변수에 대한 형식적 멱급수는 자유 반군 진동을 갖는 보존적인 구조적 다차원 선형 시스템(SNMLS)의 전이 함수로 특징지어진다.
• 비가환 슈어-아글러 클래스는 비가환 연산자 튜플이 비가환 연산자 구역 내에 있을 때의 비가환 바르너스타인 부등식을 통해 정의된다.
• 비가환 멱급수에 대한 왼쪽 및 오른쪽 평가 맵을 사용하여 보간 문제를 설정하며, 고전적 네바린나-피크 및 카라테오도리-페저 설정을 일반화한다.
• 비가환 함수의 아벨화는 비가환 함수를 교환 법칙이 성립하는 슈어-아글러 클래스 내의 교환 함수로 매핑하며, 기존의 해결 가능성 기준으로의 감소를 가능하게 한다.
• 핵심 기술 도구는 연산자 $ M, N, X, Y $ 를 포함하는 스테인 방정식 유도이며, 해결 가능성 조건은 어떤 준정부호 행렬 $ P $ 에 대해 $ M^* P M - N^* P N = X^* X - Y^* Y $ 로 표현된다.
• 특수 케이스, 예를 들어 점 평가 데이터에 대해 명시적인 행렬 표현을 도출하였으며, 이는 $ \big[ \frac{b_i b_j^* - c_i c_j^*}{1 - \langle \lambda_i, \lambda_j \rangle} \big] $ 에 대한 준정부호 행렬 조건으로 이어진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 교환 법칙이 성립하는 슈어-아글러 클래스에 대한 보간 이론은 비가환 설정으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 비가환 슈어-아글러 클래스를 특징짓는 비가환 바르너스타인 부등식의 비가환 해석은 무엇인가?
• RQ3 비가환 변수에 대한 보간 문제들은 어떻게 해가 존재하는 교환 법칙이 성립하는 경우로 감소시킬 수 있는가?
• RQ4 교환 법칙이 성립하는 데이터를 가진 비가환 슈어-아글러 클래스의 보간 문제에 대해 해가 존재하는 데 필요한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 비가환 슈어-아글러 클래스는 비가환 연산자 튜플이 비가환 연산자 구역 내에 있을 때의 비가환 바르너스타인 부등식을 통해 정의된다.
• 이 클래스에 속하는 형식적 멱급수는 자유 반군 진동을 갖는 보존적인 구조적 다차원 선형 시스템의 전이 함수로서 선형 분수 표현을 갖는다.
• 교환 법칙이 성립하는 데이터를 가진 보간 문제들은 비가환 함수의 아벨화를 통해 교환 법칙이 성립하는 슈어-아글러 클래스 내의 동치 문제들로 감소된다.
• 비가환 보간 문제의 해결 가능성은 스테인 방정식 $ M^* P M - N^* P N = X^* X - Y^* Y $ 에 대한 준정부호 해 $ P $ 의 존재성과 동치이다.
• 점 평가 데이터의 경우, 해결 가능성 조건은 행렬 $ \big[ \frac{b_i b_j^* - c_i c_j^*}{1 - \langle \lambda_i, \lambda_j \rangle} \big]_{i,j=1}^n $ 이 준정부호여야 한다는 것으로 감소된다.
• 결과는 기존의 알려진 교환 법칙이 성립하는 보간 정리, 예를 들어 [39, 정리 4.1]을 비가환 설정으로 일반화한다.