[논문 리뷰] Intersection cohomology of Drinfeld's compactifications

Alexander BRAVERMAN, D. Gaitsgory외 2명|arXiv (Cornell University)|2000. 12. 15.

Advanced Algebra and Geometry인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 곡선 위의 $P$-bundle 모듈리 스택의 드린펠트 콪팩티피케이션에서의 교차 호몰로지 층에 대해, 랑글랜드 쌍대 리 대수의 조합론과 자스타바 공간들을 국소 모델로 사용하여 명시적인 기술을 제공한다. 핵심 결과는 IC 층이 코르oot 라벨의 원소로 색인된, 대칭곱 위의 국소 층들의 텐서곱의 편성과 그 이동이 평행 부분군의 차수에 의해 결정되는 직접 합으로 표현됨을 밝힌다.

ABSTRACT

Let $X$ be a smooth complete curve, $G$ be a reductive group and $P\subset G$ a parabolic. Following Drinfeld, one defines a compactification $\widetilde{\on{Bun}}_P$ of the moduli stack of $P$-bundles on $X$. The present paper is concerned with the explicit description of the Intersection Cohomology sheaf of $\widetilde{\on{Bun}}_P$. The description is given in terms of the combinatorics of the Langlands dual Lie algebra $\check{\mathfrak g}$.

연구 동기 및 목표

• 드린펠트 콩팩티피케이션 $\widetilde{\operatorname{Bun}}_P$에서의 교차 호몰로지 층에 대한 기하학적 및 표현론적 기술을 제공하기 위해.
• 나이브 아이젠스타인 시리즈 함자에서의 비준거성 문제를 해결하기 위해, 콩팩티피케이션된 스택을 통해 수정된 기하 아이젠스타인 시리즈 함자를 구성하기 위해.
• 드린펠트 콩팩티피케이션 $\widetilde{\operatorname{Bun}}_P$의 특이점과 유한 차원 모델(자스타바 공간들)을 통한 무한 차원 플래그 다양체 사이의 연결 고리를 설정하기 위해.
• 루스티그의 조합론적 패턴을 교차 호몰로지의 관점에서, 특히 주기적인 카즈단-류스트리그 다항식을 통해 실현하기 위해.

제안 방법

• 자스타바 공간 $Z^\mu$를 $\widetilde{\operatorname{Bun}}_P$의 특이점에 대한 유한 차원 국소 모델로 사용하며, 이를 임의의 평행 부분군으로 일반화하기 위해.
• 근 $\theta \in \Theta \subset \Lambda_{G,P}$의 양의 조합으로 이루어진 반군 $\mathbb{Z}_+\Theta$를 정의하며, 여기서 $\Theta$는 랑글랜드 쌍대 평행 부분군의 유니포텐트 라디컬 내에서 비영인 무게 공간을 색인한다.
• 쌍대 리 군 $\check{M}$의 표현에 관련된 국소화 층들의 텐서곱을 통해, 대칭곱 $X^{\mathfrak{P}(\theta)}$ 위에 층 복합체 $\mathcal{R}_{\mathfrak{P}(\theta)}(V)$를 구성한다.
• 정규화 사상 $j_{P,\mathfrak{P}(\theta)}$를 사용하여, $\widetilde{\operatorname{Bun}}_P$ 위의 IC 층을 $^\mathfrak{P}(\theta)\overline{\operatorname{Bun}}_P$ 위의 각 기저에 따라 편성된 국소 층들과 연결한다.
• 열린 기저에서 시작하여 기저에 대해 귀납법을 적용하여 총 IC 복합체를 $\mathfrak{P}(\theta) \in \mathbb{Z}_+\Theta$ 전부에 대해 직접 합으로 계산하며, 이는 $2|\mathfrak{P}(\theta)|$의 이동을 포함한다.
• 주어진 $\check{\mathfrak{u}}(P)$에서의 주요 영점 $e$에 대해 $\operatorname{Im}(e)[1]$의 자기쌍대성을 활용하여, 얻어진 층 복합체의 쌍대성 성질을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 드린펠트 콩팩티피케이션 $\widetilde{\operatorname{Bun}}_P$에서의 교차 호몰로지 층은 기하학적 및 표현론적 자료의 관점에서 어떻게 명시적으로 기술될 수 있는가?
• RQ2 수정된 기하 아이젠스타인 시리즈 함자와 나이브 함자 사이의 정확한 관계는 무엇이며, 기하 설정에서 $L$-함수와 어떻게 관련되는가?
• RQ3 자스타바 공간들이 $\widetilde{\operatorname{Bun}}_P$의 특이점에 대해 어느 정도까지 국소 모델로 기능하는가? 그리고 이들은 무한 차원 플래그 다양체의 구조를 어떻게 반영하는가?
• RQ4 드린펠트 콩팩티피케이션 $\widetilde{\operatorname{Bun}}_P$ 위의 IC 층의 스태크는 어떻게 루스티그의 주기적 카즈단-류스트리그 다항식을 포함하는가?
• RQ5 드린펠트 콩팩티피케이션 $\widetilde{\operatorname{Bun}}_P$ 위의 IC 층은 곡선의 대칭곱 위의 층들의 편성과 쌍대 리 군의 표현에 대한 계수를 가진 직접 합으로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• 드린펠트 콩팩티피케이션 $\widetilde{\operatorname{Bun}}_P$ 위의 교차 호몰로지 층은 $\mathfrak{P}(\theta) \in \mathbb{Z}_+\Theta$ 전부에 대해, $ (j_{P,\mathfrak{P}(\theta)})_! $를 적용한 $ \mathcal{R}_{\mathfrak{P}(\theta)}(\operatorname{Im} e) \boxtimes \operatorname{IC}(\overline{\operatorname{Bun}}_P) $의 직접 합과 동형이며, $ 2|\mathfrak{P}(\theta)| $의 이동이 있다.
• $ X^{\mathfrak{P}(\theta)} $ 위의 층 $ \mathcal{R}_{\mathfrak{P}(\theta)}(V) $ 는 $ V $가 $ \Theta $-적응 $ \mathbb{Z} $-중복 $ \check{M} $-모듈이면, $ \overline{\operatorname{Loc}}(V_{\theta_s})^{(n_s)} $의 상자곱으로 구성된다.
• $ \overline{\operatorname{Bun}}_P $ 위의 복합체 $ \mathfrak{Q} := \mathfrak{r}_! \operatorname{IC} $ 는 주어진 편성構조와 함께, $ \theta \in \Lambda_{G,P}^{\text{pos}} $ 및 $ \mathfrak{P}(\theta) $ 전부에 대해 직접 합으로 동형이다.
• $ X^{\mathfrak{P}(\theta)} $ 위의 층 $ \mathcal{R}_{\mathfrak{P}(\theta)}(\operatorname{Im} e)[2|\mathfrak{P}(\theta)|] $ 는 $ (\operatorname{Im} e)[1] $ 의 자기쌍대성에 의해 반영되는, 유한 차원 벡터 공간의 범주 내에서 자기쌍대이다.
• 이 구성은 열린 기저에서 시작하여 기저에 대해 귀납법으로 증명되며, 정규화 사상 $ j_{P,\mathfrak{P}(\theta)} $ 는 기저 $ {}^{\mathfrak{P}(\theta)}\overline{\operatorname{Bun}}_P $ 의 특이점 해소를 제공한다.
• 결과적으로, IC 층의 분해를 통해 드린펠트 콩팩티피케이션 $ \widetilde{\operatorname{Bun}}_P $ 의 기하학과 루트 단위에서의 양자군 표현론 사이에 정확한 연결 고리가 설정된다.