[논문 리뷰] Intersection theorems for $\{0,\pm 1\}$-vectors and $s$-cross-intersecting families

Péter Frankl, Andrey Kupavskii|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 03.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 17인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 에르되시-코-라도 정리의 두 가지 새로운 설정으로의 확장을 다룬다: 첫째, 고정된 ℓ² 노름과 유한한 상호 내적을 갖는 {0,±1}-벡터의 가족에 대해, 큰 n에 대해 최대 크기를 결정한다; 둘째, s-크로스상호작용, t-상호작용 k-집합의 가족에 대해, |𝒜| + |ℬ|의 최대 합이 [k] 위의 최대 t-상호작용 가족을 포함하는 명시적 구성에 의해 달성됨을 증명한다. 최적의 가족은 완전 상호작용 정리에 의해 특성화된다. 결과적으로, 고전적인 교차 정리들을 벡터 및 크로스상호작용 설정으로 일반화하며, 구체적인 점근적 경계를 제공한다.

ABSTRACT

In this paper we study two directions of extending the classical Erd\H os-Ko-Rado theorem which states that any family of $k$-element subsets of the set $[n] = \{1,\ldots,n\}$ in which any two sets intersect, has cardinality at most ${n-1\choose k-1}$. In the first part of the paper we study the families of $\{0,\pm 1\}$-vectors. Denote by $\mathcal L_k$ the family of all vectors $\mathbf v$ from $\{0,\pm 1\}^n$ such that $\langle\mathbf v,\mathbf v angle = k$. For any $k$, most $l$ and sufficiently large $n$ we determine the maximal size of the family $\mathcal V\subset \mathcal L_k$ such that for any $\mathbf v,\mathbf w\in \mathcal V$ we have $\langle \mathbf v,\mathbf w angle\ge l$. We find some exact values of this function for all $n$ for small values of $k$. In the second part of the paper we study cross-intersecting pairs of families. We say that two families are $\mathcal A, \mathcal B$ are extit{$s$-cross-intersecting}, if for any $A\in\mathcal A,B\in \mathcal B$ we have $|A\cap B|\ge s$. We also say that a set family $\mathcal A$ is {\it $t$-intersecting}, if for any $A_1,A_2\in \mathcal A$ we have $|A_1\cap A_2|\ge t$. For a pair of nonempty $s$-cross-intersecting $t$-intersecting families $\mathcal A,\mathcal B$ of $k$-sets, we determine the maximal value of $|\mathcal A|+|\mathcal B|$ for $n$ sufficiently large.

연구 동기 및 목표

• 고정된 k와 l에 대해, 모든 v,w ∈ 𝒱에 대해 ⟨v,w⟩ ≥ l 를 만족하는 ℒ_k의 가족 𝒱 ⊂ ℒ_k의 최대 크기를 결정하는 것.
• s-크로스상호작용, t-상호작용 k-집합의 가족을 특성화하여, 교차 제약 조건 하에서 |𝒜| + |ℬ|의 최대 합을 최대화하는 것.
• 고전적인 극값 집합 이론 결과—에르되시-코-라도 정리 및 완전 상호작용 정리—를 벡터 가족과 크로스상호작용 쌍으로 일반화하는 것.
• 완전 상호작용 정리와 이중 세는 기법을 포함한 구조적 및 조합 기법을 사용하여, 큰 n에 대해 엄밀한 점근적 경계를 확립하는 것.

제안 방법

• ℒ_k를 길이 n의 {0,±1}-벡터 중 정확히 k개의 비영원소를 갖는 집합으로 정의하고, 모든 v,w ∈ 𝒱에 대해 ⟨v,w⟩ ≥ l 를 만족하는 가족을 연구한다.
• 쌍방향 교차 쌍 분석의 핵심이 되는, s-원소 집합의 가족에서 상호 교차가 최소 t 이상인 경우의 크기를 제한하기 위해 완전 상호작용 정리를 사용한다.
• 이중 세는 기법과 극값 집합 이론 기법을 적용하여, s-크로스상호작용, t-상호작용 k-집합의 가족에 대해 |𝒜| + |ℬ|를 제한한다.
• 최대 t-상호작용 가족 𝒥를 [k] 위에서 고정하고, 𝒜를 [k]와의 교차가 𝒥에 속하는 모든 k-집합으로 정의함으로써 최적의 가족을 구성한다.
• 모든 최적의 쌍 (𝒜,ℬ)이 이러한 구성에 포함되어야 함을, 교차 크기와 차수 제약 조건에 관한 주장들을 사용하여 증명한다.
• 완전 상호작용 정리의 유일성 성질을 사용하여, 최대 크기를 달성할 수 있는 유일한 가족은 𝒜_i(k,s,t) 뿐임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 큰 n과 고정된 k,l에 대해, 고정된 ℓ² 노름 k와 상호 내적 최소 l을 갖는 {0,±1}-벡터의 가족의 최대 크기는 얼마인가요?
• RQ2 s-크로스상호작용, t-상호작용 k-집합의 가족에 대해, |𝒜| + |ℬ|의 최대 가능한 합은 얼마이며, 어떤 가족이 이를 달성합니까?
• RQ3 고전적인 에르되시-코-라도 정리와 완전 상호작용 정리는 내적 제약 조건이 있는 {0,±1}-벡터의 가족으로 일반화될 수 있습니까?
• RQ4 s-크로스상호작용, t-상호작용 k-집합의 최적 가족은 [k] 위의 최대 t-상호작용 가족의 구조와 어떻게 관련이 있습니까?
• RQ5 최적의 구성은 유일한가요? 그리고 어떤 조건에서 알려진 가족 𝒜_i(k,s,t)와 일치합니까?

주요 결과

• k ≤ n ≤ s² 일 때, ℒ_k 내에서 상호 내적 최소 l을 갖는 {0,±1}-벡터의 가족의 최대 크기는 s·(n−1 choose k−1)이며, l = 1일 때 달성된다.
• n > s² 일 때, 최대 크기는 binomial 계수의 합으로 증가한다: s·(s²−1 choose s) + (s² choose s) + ... + (n−1 choose s), 동일한 내적 제약 조건 하에서.
• s-크로스상호작용, t-상호작용 k-집합의 가족에 대해, |𝒜| + |ℬ|의 최대 합은 [k] 위의 최대 t-상호작용 가족을 기반으로 하는 구성에 의해 점근적으로 달성되며, 크기는 m(k,s,t)·(n−k choose k−s)이다.
• 최적의 가족은 유일하게 특성화된다: 어떤 i ≤ s−t에 대해 𝒜는 𝒜_i(k,s,t)에 포함되어야 하며, ℬ는 ℬ_i(k,s,t)에 포함되어야 하며, 등호는 𝒥 = 𝒜_i(k,s,t)이 i < s−t 또는 i = s−t일 때에만 성립한다.
• m(k,s,t)이 오직 𝒜_{s−t}(k,s,t)에 의해 달성될 때, 최적의 쌍은 𝒜 = 𝒜_{s−t}, ℬ = ℬ_{s−t}이며, 유일성은 n = 2k, s = 1일 경우를 제외하고 성립한다.
• 결과는 최적의 구성이 최적임을 확인하며, 주어진 교차 및 크로스교차 제약 조건 하에 더 큰 가족이 존재하지 않음을 보여준다.