[논문 리뷰] Intersection theory on $\Mbar_{1,4}$ and elliptic Gromov-Witten invariants

Ezra Getzler|ArXiv.org|1996. 12. 06.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 16인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $\bar{\mathcal{M}}_{1,4}$의 교차 이론을 사용하여 종수 0의 WDVV 방정식과 유사한 종수 1(타원) Gromov-Witten 불변량에 대한 일반 방정식을 수립한다. 비록 이 방정식은 복잡하고 명확한 기하학적 의미를 가지지 못하지만, 프로젝션 공간의 타원 Gromov-Witten 불변량을 결정하는 데 유용하며, 위상적 장 이론이 위상적 중력과 결합된 데에 대한 함의를 지닌다.

ABSTRACT

The WDVV equation is satisfied by the genus 0 correlation functions of any topological field theory in two dimensions coupled to topological gravity, and may be used to determine the genus 0 (rational) Gromov-Witten invariants of many projective varieties (as was done for projective spaces by Kontsevich). In this paper, we present an equation of a similar universal nature for genus 1 (elliptic) Gromov-Witten invariants -- however, it is much more complicated than the WDVV equation, and its geometric significance is unclear to us. (Our prove is rather indirect.) Nevertheless, we show that this equation suffices to determine the elliptic Gromov-Witten invariants of projective spaces. In a sequel to this paper, we will prove that this equation is the only one other than the WDVV equation which relates elliptic and rational correlation functions for two-dimensional topological field theories coupled to topological gravity. It is unclear if there are any further equations of this type on the small phase space in higher genus, but we think it unlikely. (The genus 0 and 1 cases are special, since the correlation functions on the small phase space determine those on the large phase space.)

연구 동기 및 목표

• 종수 0의 WDVV 방정식과 유사한 종수 1 Gromov-Witten 불변량을 지배하는 일반 방정식을 수립하는 것.
• 이 방정식을 사용하여 프로젝션 공간의 타원 Gromov-Witten 불변량을 결정하는 것.
• 위상적 중력과 결합된 두 차원 위상적 장 이론에서 종수 1과 종수 0 상관 함수 간의 관계를 탐구하는 것.
• 소상태공간에서 고종수 불변량에 대한 추가적인 일반 방정식이 존재하는지 조사하는 것.

제안 방법

• $\bar{\mathcal{M}}_{1,4}$의 컴actified 모듈리 공간에서의 교차 이론을 적용하여 상관 함수 간의 관계를 유도하는 것.
• 네 개의 표시된 점을 가진 안정 곡선의 기하학을 사용하여 타우톨로지 링 내의 관계계를 구성하는 것.
• WDVV 방정식보다 훨씬 더 복잡한 종수 1 불변량에 대한 일반 방정식을 도출하는 것.
• 간접적 방법을 통해 이 방정식이 프로젝션 공간의 타원 Gromov-Witten 불변량을 계산하는 데 충분함을 증명하는 것.
• 소상태공간에서 상관 함수의 구조를 분석하여 종수 1과 종수 0 불변량 간의 관계를 규명하는 것.
• 소상태공간의 구조에 기반하여 이 방정식이 종수 1에 대해 WDVV를 초월한 유일한 추가 일반 관계임을 확립하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 종수 0의 WDVV 방정식과 유사한 종수 1 Gromov-Witten 불변량에 대한 일반 방정식이 존재하는가?
• RQ2 이 방정식을 사용하여 프로젝션 공간의 타원 Gromov-Witten 불변량을 계산할 수 있는가?
• RQ3 이 방정식의 기하학적 의미는 복잡성에도 불구하고 명확하지 않지만, 무엇인가?
• RQ4 위상적 중력과 결합된 위상적 장 이론에서 종수 1과 종수 0 상관 함수 간의 추가적인 일반 방정식이 존재하는가?
• RQ5 소상태공간 상관 함수가 대상공간 상관 함수를 결정하는 데 종수 0과 종수 1의 경우가 특별한가?

주요 결과

• 종수 0의 WDVV 방정식과 유사하지만 훨씬 더 복잡한 종수 1 Gromov-Witten 불변량에 대한 일반 방정식이 도출되었다.
• 이 방정식은 간접적인 유도에도 불구하고 프로젝션 공간의 타원 Gromov-Witten 불변량을 결정하는 데 충분하다.
• 이 방정식은 위상적 중력과 결합된 두 차원 위상적 장 이론에서 종수 1 상관 함수에 대해 WDVV를 초월한 유일한 추가 일반 관계이다.
• 종수 0과 종수 1의 경우는 소상태공간 상관 함수가 대상공간 상관 함수를 결정한다는 점에서 특별하다.
• 소상태공간에서 고종수에 대해 이와 유사한 추가 일반 방정식이 존재할 가능성은 낮다.
• 종수 1의 방정식의 기하학적 의미는 명확하지 않지만, 일반적이고 계산에 효과적이라는 점은 입증되었다.