[논문 리뷰] Intersection Types for the lambda-mu Calculus

Steffen van Bakel, Franco Barbanera외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 02.

Logic, programming, and type systems인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $λ\mu$-계산법에 대해 주어진 주제 감소 및 확장에 대해 불변인 교차 타입 체계를 제안한다. 이는 아브라함스키의 도메인-논리적 접근을 통해 슈트라이커와 루스의 $ω$-대수적 랏스에 대한 연속성의 의미론적 모델에서 유도된 것으로, 필터 의미론을 통해 연속성 모델에 대해 완전성을 보장하며, 제한된 타입 체계를 통해 강한 정규화를 특징짓는다. 이는 파리고의 유형화된 $λ\mu$-계산법에 대한 강한 정규화의 대안적 증명을 제공한다.

ABSTRACT

We introduce an intersection type system for the lambda-mu calculus that is invariant under subject reduction and expansion. The system is obtained by describing Streicher and Reus's denotational model of continuations in the category of omega-algebraic lattices via Abramsky's domain-logic approach. This provides at the same time an interpretation of the type system and a proof of the completeness of the system with respect to the continuation models by means of a filter model construction. We then define a restriction of our system, such that a lambda-mu term is typeable if and only if it is strongly normalising. We also show that Parigot's typing of lambda-mu terms with classically valid propositional formulas can be translated into the restricted system, which then provides an alternative proof of strong normalisability for the typed lambda-mu calculus.

연구 동기 및 목표

• 주어진 $λ\mu$-계산법에 대해 주제 감소 및 확장에 대해 불변인 교차 타입 체계를 개발한다.
• $λ\mu$-계산법과 $ω$-대수적 랏스를 통한 의미론적 모델 간의 연결을 수립한다.
• 연속성 모델에 대해 완전성을 보장하는 필터 의미론을 제공한다.
• 제한된 타입 체계를 통해 강한 정규화를 특징짓는다.
• 타입 번역을 통해 파리고의 고전적 유형 체계를 제한된 교차 타입 체계에 통합하여, $λ\mu$-계산법에 대한 강한 정규화의 대안적 증명을 제공한다.

제안 방법

• 강한 정규화 및 확장에 대해 불변인 타입 체계를 유도하기 위해, $ω$-대수적 랏스의 범주에서 슈트라이커와 루스의 연속성 의미론적 모델을 해석한다.
• 아브라함스키의 도메인-논리적 접근을 적용하여, 필터가 도메인의 컴팩트 원소에 대응하는 타입 체계를 구성한다.
• 값 할당과 연속성 의미론을 통해 term을 도메인 원소로 매핑하는 타입 해석 $[\cdot]$을 정의한다.
• ‘연속성 교환’ 식을 사용하여 $M =_{\beta\mu} N$ 이면 $[M] = [N]$ 임을 증명함으로써 타당성을 확립한다.
• 타입 전순서를 기반으로 한 필터 모델을 구성하여 의미론적 모델에 대해 완전성을 증명한다.
• 타입 가능성을 통해 정확히 강한 정규화되는 $λ\mu$-항목을 식별하기 위해 체계를 제한한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 $λ\mu$-계산법에 대해 주제 감소 및 확장에 대해 불변인 교차 타입 체계를 구성할 수 있는가?
• RQ2 $λ\mu$-계산법에 대해 필터 의미론이 존재하여 그 의미론적 모델을 완전히 반영할 수 있는가?
• RQ3 제한된 타입 체계를 통해 $λ\mu$-계산법에서 강한 정규화를 특징짓는 데 성공할 수 있는가?
• RQ4 파리고의 고전적 유형 체계를 제한된 교차 타입 체계에 통합하여, 강한 정규화에 대한 대안적 증명을 도출할 수 있는가?
• RQ5 $λ\mu$에 대해 연속성 모델에 대해 타당하고 완전한 타입 체계를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 교차 타입 체계는 주제 감소 및 확장에 대해 불변이며, 이는 $λ\mu$-변환 하에 타입 안정성을 보장한다.
• 타입 전순서를 기반으로 한 필터 모델 구성으로 인해, 연속성 모델에 대해 체계가 완전하다.
• 체계의 제한된 버전은 강한 정규화를 특징짓는다: $λ\mu$-항목이 제한된 체계에서 타입 가능할 때 정확히 그것이 강한 정규화 가능하다.
• 파리고의 $λ\mu$-항목에 대한 고전적으로 타당한 공식을 사용한 유형 체계는 제한된 체계로 번역될 수 있으며, 이는 강한 정규화에 대한 대안적 증명을 제공한다.
• 해석 $[\cdot]$는 ‘연속성 교환’ 식을 만족하여, $λ\mu$-변환 가능성에 대해 타당성을 확인한다.
• 이 구성은 $ω$-대수적 랏스가 교차 타입을 통해 $λ\mu$-계산법에 적합한 의미론적 도메인임을 보여준다.