[논문 리뷰] Intersections of essential minimal prime ideals

Ali Taherifar|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 21.

Rings, Modules, and Algebras인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 아핀환의 최소 소 이상의 교차를 연구하며, 특히 근본환과 $C(X)$에서, 최소 소 이상 스펙트럼 $Σ$의 위상적 성질을 사용하여 분석한다. 이는 $R_{K}(Σ)$, 즉 $D(a)$의 컴팩트 폐쇄를 갖는 원소들의 집합이 $Σ$의 국소 컴팩트성과 거의 국소 컴팩트성을 특징짓는다고 밝히며, $C(X)$에서 본질적인 최소 소 이상의 교차는 소클(socle) $C_F(X)$와 같으며, $C_K(X)$와 같아지기 위한 조건은 $I(X) = X_L$ 이고 $C_K(X)$가 순수(pure)일 때임을 증명한다. 주요 기여는 링 이론적 이상과 위상적 성질, 특히 의사-이산 공간을 통한 연결 고리이다.

ABSTRACT

Let $\mathcal{Z(R)}$ be the set of zero divisor elements of a commutative ring $R$ with identity and $\mathcal{M}$ be the space of minimal prime ideals of $R$ with Zariski topology. An ideal $I$ of $R$ is called strongly dense ideal or briefly $sd$-ideal if $I\subseteq \mathcal{Z(R)}$ and is contained in no minimal prime ideal. We denote by $R_{K}(\mathcal{M})$, the set of all $a\in R$ for which $\bar{D(a)}=\bar{\mathcal{M}\setminus V(a)}$ is compact. We show that $R$ has property $(A)$ and $\mathcal{M}$ is compact \ifif $R$ has no $sd$-ideal. It is proved that $R_{K}(\mathcal{M})$ is an essential ideal (resp., $sd$-ideal) \ifif $\mathcal{M}$ is an almost locally compact (resp., $\mathcal{M}$ is a locally compact non-compact) space. The intersection of essential minimal prime ideals of a reduced ring $R$ need not be an essential ideal. We find an equivalent condition for which any (resp., any countable) intersection of essential minimal prime ideals of a reduced ring $R$ is an essential ideal. Also it is proved that the intersection of essential minimal prime ideals of $C(X)$ is equal to the socle of C(X) (i.e., $C_{F}(X)=O^{βX\setminus I(X)}$). Finally, we show that a topological space $X$ is pseudo-discrete \ifif $I(X)=X_{L}$ and $C_{K}(X)$ is a pure ideal.

연구 동기 및 목표

• 환 $R$의 근본환에서 본질적인 최소 소 이상의 교차가 본질적인 이상이 되는지를 최소 소 이상 스펙트럼 $\mathcal{M}$ 의 위상적 성질을 통해 특징짓는다.
• $R_{K}(\mathcal{M})$, 즉 $\overline{D(a)}$ 가 컴팩트인 원소들의 집합이 본질적인 이상 또는 $sd$-이상이 되는 조건을 밝히며, 이는 $\mathcal{M}$ 의 위상적 컴팩트성과 연결된다.
• $C(X)$에서 본질적인 최소 소 이상의 교차가 소클 $C_F(X)$ 또는 이상 $C_K(X)$와 같아지는 조건을 규명하며, 링 이론적 이상과 공간 $X$ 의 위상적 구조를 연결한다.
• 결과적으로, $I(X) = X_L$ 와 $C_K(X)$ 의 순수성 조건을 통해 의사-이산 공간을 특징짓는 조건을 수립한다.

제안 방법

• 최소 소 이상의 스펙트럼 $\mathcal{M}$ 에서의 아르자키 위상에서 $\overline{D(a)}$ 가 컴팩트인 $a \in R$ 들의 집합으로 $R_K(\mathcal{M})$ 을 정의한다.
• $z^0$-이상의 구조를 사용하여 $R_K(\mathcal{M})$ 을 분석하며, 이가 $z^0$-이상임을 보이고, $\mathcal{M}$ 의 컴팩트성에 의해 그 소멸 또는 전부 성질을 특징짓는다.
• $sd$-이상(강하게 조밀한 이상)의 개념을 도입하며, 이는 $\mathcal{Z}(R)$ 에 속하지만 어떤 최소 소 이상에도 속하지 않는 이상으로, 그 존재성이 $\mathcal{M}$ 의 위상적 성질과 관련됨을 밝힌다.
• $C(X)$ 에서 소클 $C_F(X)$ 의 특징을 $O^{\beta X \setminus I(X)}$ 로 표현하고, 이를 본질적인 최소 소 이상의 교차와 연결한다.
• $C_K(X)$, 즉 컴팩트 지지 함수들의 이상과 그 순수성 조건을 사용하여, 이가 본질적인 최소 소 이상의 교차와 같아지는 조건을 특징짓는다.
• $C_K(X) = O^{\beta X \setminus I(X)}$ 와 $I(X) = X_L = \bigcup_{f \in C_K(X)} \overline{X \setminus Z(f)}$ 가 동치임을 증명하며, 위상적 조건과 대수적 조건을 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 근본환 $R$ 에서 본질적인 최소 소 이상의 교차가 본질적인 이상이 되는가?
• RQ2 $R_K(\mathcal{M})$ 이 본질적인 이상 또는 $sd$-이상이 되는 조건는 무엇이며, 이는 $\mathcal{M}$ 의 위상적 구조와 어떻게 관련되는가?
• RQ3 $C(X)$ 에서 본질적인 최소 소 이상의 교차가 소클 $C_F(X)$ 와 같아지는가?
• RQ4 $C(X)$ 에서 본질적인 최소 소 이상의 교차가 $C_K(X)$ 와 같아지는가?
• RQ5 $X$ 에 대한 어떤 위상적 조건이 $C_K(X)$ 가 순수 이상이 되고 $I(X) = X_L$ 가 되게 하며, 이를 통해 의사-이산 공간을 특징짓는가?

주요 결과

• $C(X)$ 에서 본질적인 최소 소 이상의 교차는 소클 $C_F(X)$ 와 같으며, 이는 유한 지지 함수들의 집합이다.
• $C(X)$ 에서 본질적인 최소 소 이상의 교차가 $C_K(X)$ 와 같아지기 위한 필요충분조건은 $I(X) = X_L$ 이고 $C_K(X)$ 가 순수 이상이 되는 것이다.
• $R_K(\mathcal{M})$ 이 본질적인 이상이 되는 것은 $\mathcal{M}$ 이 거의 국소 컴팩트일 때이다.
• $R_K(\mathcal{M})$ 이 $sd$-이상이 되는 것은 $\mathcal{M}$ 이 국소 컴팩트이지만 컴팩트가 아닐 때이다.
• 위상공간 $X$ 가 의사-이산 공간이 되는 것은 $I(X) = X_L$ 이고 $C_K(\cdot)$ 가 순수 이상이 되는 것과 동치이다.
• $C(X)$ 에서 본질적인 최소 소 이상의 교차가 본질적인 이상이 되는 것은 $X$ 의 고립점들의 집합이 $X$ 에서 조밀할 때이다.