[논문 리뷰] Intersections of special cycles on the Shimura variety for GU(1,2)

Ulrich Terstiege|arXiv (Cornell University)|2010. 06. 10.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 11인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 GU(1,2)에 대한 셰이머 다양체에서 특수 사이클의 열화된 교차에 대한 쿠달라-라포르트 추측을 증명하며, p-분할군의 모듈리 공간에서 특수 사이클의 국소적 교차 중복도와 헤르미트 표현 밀도의 도함수 사이에 정확한 연결 고리를 설정한다. 핵심 결과는 특수 사이클의 전역적 교차 중복도가 에이젠스타이니 급수의 도함수의 푸리에 계수와 일치함을 확인함으로써, 추측의 첫 번째 비자명한 경우(n=3)를 해결한다.

ABSTRACT

We establish a close connection between intersection multiplicities of special cycles on arithmetic models of the Shimura variety for GU(1,2) and Fourier coefficients of derivatives of certain incoherent Eisenstein series, confirming a conjecture of Kudla and Rapoport. The paper is divided into two parts. The first part is the bulk of the paper and investigates intersections of local special cycles which are defined on a certain moduli space of p-divisible groups. This moduli space of p-divisible groups can be used for the uniformization of the completion of the Shimura variety along the supersingular locus in the fiber at an inert prime p. We investigate the structure of local special cycles and of their intersections. In particular, we give an explicit description of the special fiber of a local special cycle. We then prove an explicit formula for the intersection multiplicity of three local special cycles and relate it to certain hermitian representation densities, also confirming a conjecture of Kudla and Rapoport. To this end, we also give an explicit inductive formula for the relevant hermitian representation densities α_p(1_s,T), where T is of the form diag(p^{a_1},...,p^{a_n}). In the second part, we apply the main result of the first part to prove the relation of intersection multiplicities of (global) special cycles and Fourier coefficients of derivatives of Eisenstein series.

연구 동기 및 목표

• GU(1,2)에 대한 셰이머 다양체에서 특수 사이클의 열화된 교차에 대한 쿠달라-라포르트 추측을 증명하는 것. 이는 이러한 열화가 발생하는 첫 번째 케이스이다.
• p-분할군의 모듈리 공간에서 특수 사이클의 국소적 교차 중복도와 헤르미트 표현 밀도의 도함수 사이에 정확한 대응을 설정하는 것.
• 기존의 비열화된 경우(n=2)를 열화된 경우(n=3)로 확장하여 일반 추측에 대한 기본 케이스를 완성하는 것.
• 특수 사이클의 전역적 교차 중복도가 조건이 열화되어도 에이젠스타이니 급수 도함수의 푸리에 계수와 일치함을 검증하는 것.

제안 방법

• 논문은 전역 문제를 Z_p^2-작용과 p-주요 극성을 갖는 p-분할군의 모듈리 공간에서의 국소적 교차 문제로 환원한다.
• 특수 사이클은 Q_p^2 위의 헤르미트 공간에서의 특수 호모모르피즘을 통해 정의되며, 특수한 보편적 승화된 초특이 p-분할군과 고정된 기본적인 p-분할군 사이의 호모모르피즘 공간을 사용한다.
• 국소적 교차 중복도는 특수 호모모르피즘의 기본 행렬을 통해 계산되며, 이는 Q_p^2 위의 헤르미트 행렬이다.
• 논문은 헤르미트 표현 밀도와 그 도함수의 이론, 특히 함수 W'_T,p(0, Φ_p)를 사용하여 교차 중복도를 자동형식과 연결한다.
• 자기형식 이론과 산술 시벨-바일 공식을 적용하여, 교차 중복도를 에이젠스타이니 급수 도함수의 푸리에 계수와 비교한다.
• 전역 결과는 모든 관련 헤르미트 공간의 기여를 비교하고, n=3(홀수)일 때 유일한 U(Ṽ)-유형의 자기쌍대 격자 집합이 존재한다는 사실을 이용하여 도출된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특수 사이클의 교차 중복도와 에이젠스타이니 급수 도함수의 푸리에 계수 사이의 쿠달라-라포르트 추측이 열화된 교차의 경우에도 성립하는가?
• RQ2 GU(1,2)에 대해 p-분할군의 모듈리 공간에서 특수 사이클의 국소적 교차 중복도는 헤르미트 표현 밀도의 도함수로 표현될 수 있는가?
• RQ3 GU(1,2)에 대한 셰이머 다양체에서 특수 사이클의 전역적 교차 중복도는 조건이 열화되어도 에이젠스타이니 급수 도함수의 푸리에 계수와 동일한가?
• RQ4 Z_p^2-작용과 p-주요 극성을 갖는 p-분할군의 모듈리 공간의 구조는 교차 중복도 계산에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 n=3일 때 U(Ṽ)-유형의 자기쌍대 격자 집합의 유일성이 전역 기여 합계를 단순화하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• GU(1,2)에 대해 p-분할군의 모듈리 공간에서 특수 사이클의 국소적 교차 중복도는 상수를 제외하고는 헤르미트 표현 밀도의 도함수, 구체적으로 W'_T,p(0, Φ_p)와 동일하다.
• GU(1,2)에 대한 셰이머 다양체에서 특수 사이클의 전역적 교차 중복도는 에이젠스타이니 급수 도함수의 푸리에 계수와 일치하며, 이는 쿠달라-라포르트 추측이 열화된 경우에도 확인됨을 시사한다.
• 교차 중복도와 에이젠스타이니 급수 도함수 사이의 상수는 행렬 T에 독립적이며, 비열화된 경우에 알려진 상수와 일치함을 보였다.
• n=3일 때 U(Ṽ)-유형의 자기쌍대 격자 집합이 유일하므로, 전역 합계의 각 쌍 (V^#, V_0)에 대한 기여는 동일하다.
• 증명은 국소적 결과(정리 5.2)가 전역 결과를 함의함을 보이며, 일반적으로 전역 진술을 확보하기 위해 국소적 추측을 증명하는 것으로 충분함을 보여준다.