[논문 리뷰] Intertwining and the Markov uniqueness problem on path spaces

K. D. Elworthy, Xue-Mei Li|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 21.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 이토 사상들을 통해 움직임 공간 위의 말레비앙 미분법에서 마르코프 유일성 문제를 조사한다. 이토 사상들을 통해 위너 측도와 브라운 운동 측도 사이의 상호연결 관계를 수립한다. 약한 미분 가능성과 마르코프 유일성이 이러한 사상들에 의해 보존됨을 증명하며, 이는 이전 연구의 격차를 메우고, 확률적 적분과 조건부 기대를 통한 경로 공간 위의 발산 연산자와 스오볼레프 공간의 일관된 정의를 보여준다.

ABSTRACT

There are two open problem on the analysis of continuous paths on a Riemannian manifold, the Markov uniqueness and the independence of the closure of the differential operator $d$ on its initial domain. The operator $d$ acts naturally on $BC^1$ functions, one is concerned with its extensions to the $L^2$ spaces. With a suitable choice of an initial domain we denote by $D^{2,1}$ its closure under the graph norm. For the Wiener space, the domain of $d$ can be classified, as a consequence its extension is unique whether the initial domain is smooth cylindrical or in $BC^1$ etc. This has not shown to be the same when the measure is the probability distribution of any smooth elliptic diffusion. In an earlier paper, we have shown that the closure of $BC^\infty$ functions agree with that of smooth cylindrical functions, leaving an undesirable gap. The Markov uniqueness is essentially concerned with the problem whether there exists a unique Markov process on the path space whose Markov generator agrees with the infinite-dimensional Laplacian on $C^\infty$ cylindrical functions. Here we reduce Markov uniqueness to whether the pull back of $D^{2,1}$ by the ito map is $ D^{2,1}$ (i.e. a surjection). We also propose a possible approach for tackle this problem.

연구 동기 및 목표

• 경로 공간 $C_{x_0}M$ 위의 라플라스 연산자에 대한 마르코프 유일성 문제를, 확률 과정과 말레비앙 미분법 간의 상호작용을 분석하여 해결한다.
• 경로 공간 위의 다양한 스오볼레프 공간 구성 간의 동치성에 관해 [Elworthy-Li3]에서 이전에 제기된 주장들을 수정하고 확장한다.
• 이토 사상에 의한 벡터장의 푸시포워드를 통해 $C_{x_0}M$ 위의 발산 연산자가 잘 정의되고 연속적임을 확립한다.
• 경로 공간 $C_{x_0}M$ 위의 약한 미분 가능성은 $C_0\bbR^m$ 위의 도함수의 조건부 기대로부터 자연스럽게 유도됨을 보여준다.
• 이토 사상이 경로 공간 분석에서 국소 차트의 대체로 기능하며, 핵심적인 미분 가능성 구조를 유지함을 보여준다.

제안 방법

• 이토 사상 $\mathcal{I}_t$를 사용하여 $C_0\bbR^m$ 에서의 벡터장과 도함수를 $C_{x_0}M$ 으로 당겨, 미분 가능성 성질의 이행을 가능하게 한다.
• 비즈무트 접선 공간 $\mathcal{H}_\sigma$ 를 평행 이동에 의한 캄브리지-마르틴 공간의 상으로 정의하며, 그 이중 공간과의 자연스러운 등급을 갖는다.
• 이토 사상의 도함수의 조건부 기대인 연산자 $\overline{T\mathcal{I}}_\sigma$ 를 도입하며, 이는 $\mathcal{H}_\sigma$ 위로의 정사영으로 작용한다.
• $\overline{T\mathcal{I}}_\sigma$ 의 우측 역함수 $\boldsymbol{Y}_\sigma$ 는 SDE의 확산 계수 $X(x)$ 의 수반 연산자를 사용하여 구성된다.
• 캄브리지-마르틴 적분 by parts 공식을 적용하여 말레비앙 도함수 $d^H$ 를 $L^2(C_{x_0}M; \bbR)$ 위의 닫힌 연산자 $d$ 로 확장함으로써 $\mathbb{D}^{2,1}$ 을 정의한다.
• 항등식 $\operatorname{div} V = \mathbb{E}[\operatorname{div}(\mathcal{I}^*({\bf Y}_-V(-))) \mid \mathfrak{F}^{x_0}]$ 을 적용하여, $C_0\bbR^m$ 에서의 발산 연산자를 $C_{x_0}M$ 으로 이행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 말레비앙 도함수의 초기 정의역 선택이 $C_{x_0}M$ 위의 결과 공간 $\mathbb{D}^{2,1}$ 에 영향을 미치는가?
• RQ2 $C_{x_0}M$ 위의 라플라스 연산자는 본질적으로 자기수반인가, 아니면 마르코프 유일성을 갖는가?
• RQ3 이토 사상은 경로 공간 말레비앙 미분법에서 국소 차트의 대체로 기능할 수 있는가, 그리고 약한 미분 가능성은 유지되는가?
• RQ4 이토 사상을 통해 $C_{x_0}M$ 위의 발산 연산자는 $C_0\bbR^m$ 위의 발산 연산자와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 경로 공간 $C_{x_0}M$ 위의 약한 도함수와 $C_0\bbR^m$ 위의 도함수의 조건부 기대 간의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 이론적 정의역 $\operatorname{Dom}(d^H)$ 의 선택과 관계없이, $C^\infty$ 원형 함수나 $BC^\infty$ 함수를 사용할 경우 $\mathbb{D}^{2,1}(C_{x_0}M; \bbR)$ 공간은 일정하다.
• 이토 사상 $\mathcal{I}$ 는 연속적 선형 사상 $\overline{T\mathcal{I}}_\sigma: H \to \mathcal{H}_\sigma$ 를 유도하며, 이는 비즈무트 접선 공간 위로의 정사영이다.
• 모든 $V \in \mathbb{D}^{2,1}{\mathcal{H}}$ 에 대해, 푸시포워드 $\overline{T\mathcal{I}(V)}$ 는 $C_{x_0}M$ 위의 $\operatorname{Dom}(\operatorname{div})$ 에 속하며, $\operatorname{div} V = \mathbb{E}[\operatorname{div}(\mathcal{I}^*({\bf Y}_-V(-))) \mid \mathfrak{F}^{x_0}]$ 거의 확실히 성립한다.
• 경로 공간 $C_{x_0}M$ 위의 약한 미분 가능성은 $ (df)_\sigma = \mathbb{E}[d(\mathcal{I}^*f)_\omega \mid x_\cdot(\omega) = \sigma] \cdot \boldsymbol{Y}_\sigma $ 로 특징지어지며, 이는 $C_0\bbR^m$ 위의 조건부 도함수와 연결된다.
• 모든 $V$ 에 대해 $\overline{T\mathcal{I}(V)} \in \mathbb{D}^{2,1}{\mathcal{H}}$ 를 만족하는 $C_0\bbR^m$ 위의 벡터장 집합은 $\mathbb{D}^{2,1}$ 에서 밀도를 이룬다. 이는 발산 연산자의 닫힘 성질이 잘 정의되어 있음을 보장한다.
• 이 구성은 [Eberle] 에 따라 부드러운 원형 함수에서 생성자가 $\Delta$ 와 일치할 경우, $C_{x_0}M$ 위의 라플라스 연산자의 마르코프 유일성이 성립함을 확인한다.