[논문 리뷰] Interval colorings of edges of a multigraph

Armen S. Asratian, Raffi Kamalian|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 31.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 5인용 수 58

한 줄 요약

이 논문은 다중그래프에서 간선의 구간색칠 및 연속색칠을 조사한다. 여기서 특정 집합에 속한 정점들에 인접한 간선들은 연속된 색으로 칠해진다. 이러한 색칠이 존재하기 위한 필요 및 충분조건을 규명하고, 이중다중그래프에서 연속색칠을 인식하는 문제의 NP-완전성을 증명하며, 특히 삼각형이 없는 연결된 다중그래프에서 필요한 색의 수에 대한 상한을 제시한다. 특히 삼각형이 없는 연결된 다중그래프는 최대 |V|−1가지 색으로 구간색칠이 가능하다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

Let $G=(V_1(G),V_2(G),E(G))$ be a bipartite multigraph, and $R\subseteq V_1(G)\cup V_2(G)$. A proper coloring of edges of $G$ with the colors $1,\ldots,t$ is called interval (respectively, continuous) on $R$, if each color is used for at least one edge and the edges incident with each vertex $x\in R$ are colored by $d(x)$ consecutive colors (respectively, by the colors $1,\ldots,d(x))$, where $d(x)$ is a degree of the vertex $x$. We denote by $w_1(G)$ and $W_1(G)$, respectively, the least and the greatest values of $t$, for which there exists an interval on $V_1(G)$ coloring of the multigraph $G$ with the colors $1,\ldots,t$. In the paper the following basic results are obtained. extbf{Theorem 2.} For an arbitrary $k$, $w_1(G)\leq k\leq W_1(G)$, there is an interval on $V_1(G)$ coloring of the multigraph $G$ with the colors $1,\ldots,k$. extbf{Theorem 3.} The problem of recognition of the existence of a continuous on $V_1(G)$ coloring of the multigraph $G$ is $NP$-complete. extbf{Theorem 4.} If for any edge $(x,y)\in E(G)$, where $x\in V_1(G)$, the inequality $d(x)\geq d(y)$ holds then there is a continuous on $V_1(G)$ coloring of the multigraph $G$. extbf{Theorem 1.} If $G$ has no multiple edges and triangles, and there is an interval on $V(G)$ coloring of the graph $G$ with the colors $1,\ldots,k$, then $k\leq|V(G)|-1$.

연구 동기 및 목표

• 특정 부분집합 R에 속한 정점들에 인접한 간선들이 연속된 색으로 칠지는 다중그래프에서의 구간색칠 및 연속색칠을 연구한다.
• 이러한 색칠이 존재하기 위한 필요 및 충분조건을 규명한다.
• 이중다중그래프에서 연속색칠을 인식하는 문제의 복잡도를 분석한다.
• 삼각형이 없는 다중그래프에서의 구간색칠에 필요한 색의 수에 대한 상한을 설정한다.
• 특히 정규 및 이중다중그래프 케이스에서 구간색칠 또는 연속색칠을 허용하는 다중그래프의 구조적 성질을 탐색한다.

제안 방법

• 다중그래프 G에서의 구간색칠 및 연속색칠을 정의한다. 여기서 특정 집합에 속한 각 정점 x는 d(x)개의 연속된 색을 갖는 간선을 가진다.
• t개의 색을 사용한 구간색칠을 허용하는 다중그래프를 분류하기 위해 집합 N_t 및 N을 도입한다.
• 구성적 색칠 기법을 사용한다: 더 높은 색 클래스에서부터 낮은 색 클래스로 간선를 재색칠함으로써 색의 수를 줄이되, 정규 색칠 조건을 유지한다.
• 경로 기반의 추론과 모순을 이용하여 삼각형이 없는 그래프에서 최대 색 수 W(G)에 대한 상한을 유도한다.
• 이중다중그래프에서 연속색칠 문제를 교차 경로를 이용한 매칭 및 경로 재색칠 문제로 환원한다.
• 기존의 알려진 NP-완전 문제에서의 환원을 통해 NP-완전성을 증명한다. 특히 고정된 색 수를 갖는 간선색칠을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 다중그래프가 부분집합 정점들에 대해 구간색칠 또는 연속색칠을 허용하는가?
• RQ2 다중그래프의 구간색칠에 필요한 최소 및 최대 색의 수는 얼마인가?
• RQ3 이중다중그래프가 부분집합 정점들에 대해 연속색칠을 허용하는지 인식하는 문제는 NP-완전한가?
• RQ4 삼각형이 없는 다중그래프에서의 구간색칠에 대해 색의 수에 상한을 설정할 수 있는가?
• RQ5 다중그래프의 어떤 구조적 성질이 Δ(G)개의 색을 사용한 연속색칠의 존재를 보장하는가?

주요 결과

• 모든 다중그래프 G ∈ N에 대해 χ′(G) = Δ(G)이 성립하므로, 구간색칠은 가능한 최소 색 수로 간선색칠을 의미한다.
• G가 정규이면서 구간색칠을 허용한다면 χ′(G) = Δ(G)이며, 이 경우 모든 t에 대해 Δ(G) ≤ t ≤ W(G)일 때 이러한 색칠이 존재한다.
• 삼각형이 없는 연결된 다중그래프에서는 W(G) ≤ |V(G)| − 1이 성립하여, 필요한 색의 수에 대한 날카운 상한을 확립한다.
• 이중다중그래프에서 연속색칠을 인식하는 문제는 최대 차수의 상한이 존재하더라도 여전히 NP-완전하다.
• 이중다중그래프 G에서 V₁(G)에 대한 연속색칠이 존재한다. 조건은 (x,y)가 간선일 때 x ∈ V₁(G)이면 d(x) ≥ d(y)를 만족한다. 이는 충분조건을 제공한다.
• min_{x∈V₁(G)} d(x) ≥ max_{y∈V₂(G)} d(y)일 경우 V₁(G)에 대한 연속색칠이 존재한다. 이는 차수 기반의 충분조건을 제공한다.