[논문 리뷰] Into the Square - On the Complexity of Quadratic-Time Solvable Problems

Michele Borassi, Pierluigi Crescenzi외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 18.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 33인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 이차시간 내에 해결 가능한 문제들의 미세한 복잡도를 조사하며, 전이성 검사와 비교 가능성 그래프 식별 문제가 강력한 지수시간 가설(Strong Exponential Time Hypothesis, SETH) 하에서 진정으로 이차시간 이하로 해결될 수 있음을 증명한다. 이는 전이폐쇄 알고리즘의 수정된 변형을 사용하여 시간 복잡도 $\mathcal{O}(mn^{(\omega+1)/4})$를 갖는다. 여기서 $m$은 전이폐쇄 내 간선 수이고 $\omega$는 행렬 곱셈의 지수이다. 또한, 여러 문제들—예를 들어, 중심성의 중심성, 최소 밀도 중심성, 하이퍼볼릭도—에 대해 카프 스타일의 감소 프레임워크를 구축하여, 이들 문제가 SETH 하에서 $k$-Sat과 동일한 난이도임을 보여준다.

ABSTRACT

This paper will analyze several quadratic-time solvable problems, and will classify them into two classes: problems that are solvable in truly subquadratic time (that is, in time $O(n^{2-ε})$ for some $ε>0$) and problems that are not, unless the well known Strong Exponential Time Hypothesis (SETH) is false. In particular, we will prove that some quadratic-time solvable problems are indeed easier than expected. We will provide an algorithm that computes the transitive closure of a directed graph in time $O(mn^{\frac{ω+1}{4}})$, where $m$ denotes the number of edges in the transitive closure and $ω$ is the exponent for matrix multiplication. As a side effect, we will prove that our algorithm runs in time $O(n^{\frac{5}{3}})$ if the transitive closure is sparse. The same time bounds hold if we want to check whether a graph is transitive, by replacing m with the number of edges in the graph itself. As far as we know, this is the fastest algorithm for sparse transitive digraph recognition. Finally, we will apply our algorithm to the comparability graph recognition problem (dating back to 1941), obtaining the first truly subquadratic algorithm. The second part of the paper deals with hardness results. Starting from an artificial quadratic-time solvable variation of the k-SAT problem, we will construct a graph of Karp reductions, proving that a truly subquadratic-time algorithm for any of the problems in the graph falsifies SETH. The analyzed problems are the following: computing the subset graph, finding dominating sets, computing the betweenness centrality of a vertex, computing the minimum closeness centrality, and computing the hyperbolicity of a pair of vertices. We will also be able to include in our framework three proofs already appeared in the literature, concerning the graph diameter computation, local alignment of strings and orthogonality of vectors.

연구 동기 및 목표

• 강력한 지수시간 가설(Strong Exponential Time Hypothesis, SETH) 하에서 이차시간 내에 해결 가능한 문제들을 진정으로 이차시간 이하 알고리즘을 갖는 문제들과 갖지 않는 문제들로 분류하는 것.
• 희박한 그래프가 전이성인지 확인하는 데 더 빠른 알고리즘을 개발하여, 이 기본적인 그래프 문제에 대한 기존의 상한선을 향상시키는 것.
• 1941년 이래로 오랫동안 존재해온 문제이지만, 이전까지 이차시간 이하의 해결책이 없었던 비교 가능성 그래프 식별 문제에 대해 진정으로 이차시간 이하의 알고리즘을 제공하는 것.
• 이차시간 내에 해결 가능한 $k$-Sat의 변형에서 여러 그래프 이론 문제로의 카프 감소 프레임워크를 수립하여, 이들 문제가 SETH 하에서의 난이도를 증명하는 것.
• 3-Sum, 국소 문자열 정렬, 수직 벡터 탐지 등의 기존 난이도 결과들을 하나의 복잡도 프레임워크 내에서 통합하고 확장하는 것.

제안 방법

• 전이폐쇄 내 간선 수 $m$과 행렬 곱셈 지수 $\omega$를 고려하여 시간 복잡도 $\mathcal{O}(mn^{(\omega+1)/4})$인 고전적인 전이폐쇄 알고리즘의 수정된 버전을 제안한다.
• 전이폐쇄의 희박성 특성을 활용하여 희박한 그래프에 대해 $\mathcal{O}(n^{5/3})$의 상한을 유도함으로써 진정으로 이차시간 이하 성능를 달성한다.
• 새로운 전이폐쇄 알고리즘을 비교 가능성 그래프 식별 문제에 적용하여, 이전 연구 결과를 활용함으로써 처음으로 알려진 진정으로 이차시간 이하 알고리즘을 달성한다.
• 이차시간 내에 해결 가능한 $k$-Sat의 변형에서 시작하여 감소 그래프를 구성함으로써, 감소 체인 내 어떤 문제라도 진정으로 이차시간 이하 알고리즘을 갖는다면 SETH를 반증할 수 있음을 보여준다.
• 두 커버링 문제에서 이분 매칭 집합 문제로의 감소와, 빅두커버링 문제에서 국소 문자열 정렬 문제로의 감소를 증명하며, 특수한 분리자와 함께 이진 문자열 인코딩을 사용하여 집합 커버리지를 시뮬레이션한다.
• 와일드카드가 있는 문자열 정렬에 대한 케이스 분석을 통해 길이 $5k$인 공통 부분문자가 존재하는 것과 두 집합이 유니버스를 커버하는 것이 동치임을 보여주며, 문제들 간의 동치성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전이성 검사 문제는 진정으로 이차시간 이하로 해결될 수 있는가? 만약 가능하다면, 가능한 최적의 시간 복잡도는 무엇인가?
• RQ2 비교 가능성 그래프 식별 문제에 대해, 그 오랜 역사와 그래프 이론에서의 기본적 역할을 감안할 때 진정으로 이차시간 이하 알고리즘이 존재하는가?
• RQ3 SETH 하에서 이차시간 내에 해결 가능한 문제들 중에서, $k$-Sat과 동일한 난이도를 갖는 문제들은 무엇인가?
• RQ4 3-Sum 또는 유사한 문제들에서의 감소를 SETH 기반 난이도와 연결하여, 그래프 중심성 및 하이퍼볼릭도 문제의 맥락에서 어떻게 연결할 수 있는가?
• RQ5 전이성 축소, 최대 유량, 최대 이분 매칭과 같은 문제들은 SETH 하에서 난이도가 있는가, 아니면 더 빠른 알고리즘이 존재하는가?

주요 결과

• 전이성 검사 문제는 시간 복잡도 $\mathcal{O}(mn^{(\omega+1)/4})$를 갖는 진정으로 이차시간 이하 알고리즘을 갖는다. 여기서 $\omega \approx 2.3727$ 이므로, 희박한 그래프에서는 $\mathcal{O}(n^2)$보다 빠르게 작동한다.
• 전이폐쇄가 희박한 희박한 그래프의 경우, 알고리즘이 $\mathcal{O}(n^{5/3})$ 시간에 작동하며, 이러한 그래프에서 전이성 검사를 수행하는 데 있어 지금까지 알려진 가장 빠른 상한이다.
• 새로운 전이폐쇄 알고리즘과 이전 연구 결과 [28]를 조합함으로써, 비교 가능성 그래프 식별 문제에 대해 처음으로 알려진 진정으로 이차시간 이하 알고리즘을 달성하였다.
• 논문은 중심성의 중심성, 최소 밀도 중심성, 하이퍼볼릭도 문제들이 SETH 하에서 $k$-Sat과 동일한 난이도임을 증명하였으며, 이는 SETH가 성립하지 않는 한 진정으로 이차시간 이하 알고리즘이 존재하지 않음을 의미한다.
• 카프 감소 프레임워크를 수립하여 $\textsc{TwoCovering} \leq_{ql} \textsc{Bipartite3DominatingSet}$ 및 $\textsc{BigTwoCovering} \leq_{ql} \textsc{LocalStringAlign}$를 증명함으로써, 이 문제들 간의 SETH 기반 난이도를 연결하였다.
• 논문은 스플릿 그래프 지름, 국소 문자열 정렬, 수직 벡터 탐지 문제에 대한 세 가지 기존의 난이도 증명을 하나의 SETH 기반 감소 프레임워크 내에서 통합하고 확장하였다.