[논문 리뷰] Intrinsic and Apparent Singularities in Flat Differential Systems

Yirmeyahu J. Kaminski, Jean Lévine외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 03.

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 무한차 수준의 잡 공간과 리-백룬드 동형사상(이sovorphism)을 사용하여 미분 평탄한 시스템에서의 내재적 특이점과 명백한 특이점을 기하학적 프레임워크로 분류한다. 내재적 특이점은 변분 시스템 행렬 $ P(F) $의 초특이점(hyper-singular points)으로 정의되는 계산 가능한 집합을 포함하며, 이는 내재적 특이점을 피하고 명백한 특이점을 통과하는 전역 운동 계획을 가능하게 한다. 이는 비가역적 자동차 모델을 통해 입증되었다.

ABSTRACT

In this paper, we study the singularities of locally flat systems, motivated by the solution, if it exists, of the global motion planning problem for such systems, in the spirit of \cite{CE_14}. More precisely, flat outputs may be only locally defined because of the existence of points where they are singular (a notion that will be made clear later), thus preventing from planning trajectories crossing these points. Such points are of different types. Some of them can be easily ruled out by considering another non singular flat output, defined on an open set intersecting the domain of the former one and well defined at the point in question. However, it might happen that no well-defined flat outputs exist at all at some points. We call these points \emph{intrinsic} singularities and the other ones \emph{apparent}. A rigorous defintion of these points is introduced in terms of atlas and charts in the framework of the differential geometry of jets of infinite order and Lie-Bäcklund isomorphisms (see \cite{FLMR_99,Levine-09}). We then give a criterion allowing to effectively compute intrinsic singularities. Finally, we show how our results apply to global motion planning of the well-known example of non holonomic car.

연구 동기 및 목표

• 평탄한 출력이 전역적으로 정의되지 않을 수 있는 미분 평탄한 시스템에서 전역 운동 계획 문제를 다루는 것.
• 무한차 수준의 잡과 리-백룬드 동형사상의 미분기하학을 사용하여 내재적 특이점과 명백적 특이점을 공식적으로 정의하고 구분하는 것.
• 변분 시스템 행렬 $ P(F) $의 초특이성에 의해 내재적 특이점의 부분집합을 계산 가능한 기준으로 식별하는 것.
• 다중 특이점을 포함한 비가역적 자동차 모델에 대한 전역 궤적 계획을 통해 프레임워크의 적용 가능성을 입증하는 것.
• 운동 계획이 내재적 특이점을 피하고 리-백룬드 아틀라스를 사용하여 명백적 특이점을 안전하게 통과하도록 보장하는 것.

제안 방법

• 평탄한 출력과 그 역함수가 비특이적인 국소 차트를 사용하여 리-백룬드 아틀라스를 구성함으로써, 다양한 평탄한 출력 표현 간의 좌표 전환을 가능하게 한다.
• 아틀라스의 어떤 차트에도 포함되지 않는 점을 내재적 특이점으로 정의하고, 차트의 교차점에 있지만 특정 평탄한 출력의 정의도메인에 속하지 않는 점을 명백적 특이점으로 정의한다.
• 암시적 형태 $ F(x,\dot{x}) = 0 $의 변분 시스템을 사용하여 시스템 역학의 선형화를 기록하는 행렬 $ P(F) $를 계산한다.
• $ P(F) $가 초특이성(즉, 최대 질량 결함을 가짐)인 점들의 계산 가능한 집합을 식별하고, 이 집합이 내재적 특이점 집합에 포함됨을 증명한다.
• 아틀라스와 특이점 분류를 적용하여 비가역적 자동차에 대한 전역 궤적을 설계하며, 경로 세그먼트 간에 다양한 평탄한 출력($ y_1, y_2, y_3 $)을 전환하여 특이점을 피한다.
• 경로를 호장으로 매개변수화한 후 시간으로 매개변수화하여 제어 입력의 연속성을 확보하고, 속도 또는 방향이 정의되지 않는 점을 피한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한차 수준의 잡의 미분기하학을 사용하여 미분 평탄한 시스템에서의 내재적 특이점과 명백적 특이점을 엄밀하게 정의할 수 있는가?
• RQ2 변분 시스템 행렬 $ P(F) $를 사용하여 내재적 특이점의 계산 가능한 부분집합을 식별할 수 있는가?
• RQ3 내재적 특이점을 피하고 명백적 특이점을 통과하는 방식으로 전역 운동 계획을 어느 정도 달성할 수 있는가?
• RQ4 $ P(F) $의 초특이성이 평탄한 시스템에서 내재적 특이점 집합을 완전히 특성화하는가?
• RQ5 리-백룬드 아틀라스는 어떻게 구성하고, 이를 통해 다수의 평탄한 출력 표현 간의 전역 궤적 계획을 어떻게 달성하는가?

주요 결과

• 내재적 특이점 집합은 변분 시스템의 행렬 $ P(F) $가 초특이성인 점들을 포함하며, 이는 내재적 특이점의 부분집합을 식별하는 계산 가능한 기준을 제공한다.
• 비가역적 자동차 모델의 경우, 내재적 특이점 집합은 원점과 $ \dot{x} = \dot{y} = 0 $ 인 평형점들을 포함하며, 이들은 유한 제어로 도달할 수 없다.
• 아틀라스 구성은 완전하다: 추가 차트를 더해도 내재적 특이점 집합이 줄어들지 않으며, $ \mathcal{S}_F = \{ \dot{x} = \dot{y} = 0 \} $ 의 직접 계산으로 확인되었다.
• 자동차 궤적은 다양한 평탄한 출력($ y_1, y_2, y_3 $)을 사용하여 다수의 차트를 통과하며 내재적 특이점을 피하고 점점 가까이 접근한다.
• 세그먼트 $ AC $ 에서는 평탄한 출력 $ y_2 $ 를, $ CE $ 에서는 $ y_1 $ 을, $ GK $ 에서는 다시 $ y_1 $ 을 사용하며 $ \dot{y} = 0 $ 이 되는 지점에서 최소화되며, 아틀라스 기반 접근의 강건성을 확인한다.
• 이 방법은 내재적 특이점의 여집합에서 궤적이 전역적으로 계획 가능하며, 아틀라스가 모든 시스템 상태에서 일관된 프레임워크를 제공함을 보장한다.