[논문 리뷰] Intrinsic flat convergence with bounded Ricci curvature

Michael Munn|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 13.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 13인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 Ricci 곡률이 일관되게 유계이고, 지름과 비붕괴체적도 유계인 방향성을 가진 리만다이언 맨폴드의 수열에 대해, 내재 평탄한 극한과 그로모프-하우스도르프 극한이 일치함을 증명한다. 그로모프의 채움 반경과 채움 체적에 의존하지 않고, 정상점에서의 체적 수렴을 사용함으로써, 내재 평탄한 극한에서의 상쇄 현상이 발생하지 않음을 증명함으로써, 극한 컨터너스페이스가 그로모프-하우스도르프 극한 공간의 전체 구조를 완전히 지지함을 보장한다.

ABSTRACT

In this paper we address the relationship between Gromov-Hausdorff limits and intrinsic flat limits of complete Riemannian manifolds. In \cite{SormaniWenger2010, SormaniWenger2011}, Sormani-Wenger show that for a sequence of Riemannian manifolds with nonnegative Ricci curvature, a uniform upper bound on diameter, and non-collapsed volume, the intrinsic flat limit exists and agrees with the Gromov-Hausdorff limit. This can be viewed as a non-cancellation theorem showing that for such sequences, points don't cancel each other out in the limit. Here we prove a similar no-cancellation theorem, replacing the assumption of nonnegative Ricci curvature with a two-sided bound on Ricci curvature. This version corrects a mistake in the previous version of this paper (where we assume only an arbitrary lower Ricci bound) which was due to a crucial error in one of our supporting theorems for that argument.

연구 동기 및 목표

• Sormani-Wenger의 음성 Ricci 곡률에 대한 상쇄 금지 정리를 양방향 유계 Ricci 곡률으로 확장하기.
• 유계 Ricci 곡률 하에서 내재 평탄한 극한과 그로모프-하우스도르프 극한이 일치하는 조건을 설정하기.
• 그로모프의 채움 반경과 채움 체적 사용을 피하는 새로운 증명 전략을 제공하기.
• 극한에서 정상점에서의 체적 수렴이 내재 평탄한 의미에서 거리 구의 크기를 어떻게 제어하는지 보여주기.
• 극한 공간이 직선적이고, 그로모프-하우스도르프 극한 공간의 전체 구조를 지지함을 보여주기.

제안 방법

• 증명은 그로모프-하우스도르프 수렴과 극한 공간에서의 정상점에서의 체적 수렴을 결합하여, 내재 평탄한 의미에서 거리 구의 크기를 제어한다.
• 매니폴드의 스케일링된 거리 구와 유클리드 공간의 표준 구 사이의 내재 평탄한 거리에 대해 분석한다.
• 수열의 반경을 구성하고, 내재 평탄한 거리에 대한 삼각 부등식을 사용하여 균일한 상한을 유도한다.
• 거리 구가 내재 평탄한 의미에서 원점으로 수렴하지 않는다고 가정하는 모순 증명을 적용하여, 수렴 실패가 발생하는 반경의 측도에 하한을 설정한다.
• 극한 공간에서 정상점의 밀도와 정상점이 작은 구에서 양의 밀도와 전체 체적을 지닌다는 사실에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Ricci 곡률이 양방향으로 유계일 경우, 내재 평탄한 극한이 그로모프-하우스도르프 극한과 일치하는가?
• RQ2 채움 반경에 의존하지 않고, 음성 Ricci 곡률을 넘어서 상쇄 금지 정리를 확장할 수 있는가?
• RQ3 정상점에서의 체적 수렴이 내재 평탄한 수렴을 제어하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 내재 평탄한 극한에 대한 상쇄 금지 정리를 증명할 때 그로모프의 채움 체적을 피할 수 있는가?
• RQ5 유계 Ricci 곡률 하에서 극한 공간의 구조는 거리 구의 기하학과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• |Ric| ≤ (n−1)H, diam ≤ D, vol ≥ v₀ > 0 를 만족하는 방향성을 가진 리만다이언 맨폴드 수열에 대해 내재 평탄한 극한과 그로모프-하우스도르프 극한이 일치한다.
• 극한 공간은 Hⁿ-직선적이다. 이는 Cheeger-Colding의 직선성 결과를 더 넓은 맨폴드 클래스로 확장한다.
• 내재 평탄한 극한에서 상쇄 현상이 발생하지 않으며, 극한 컨터너스페이스의 지지집합은 정확히 그로모프-하우스도르프 극한 공간과 일치한다.
• 증명은 그로모프의 채움 반경과 채움 체적을 피하고, 정상점에서의 체적 수렴과 스케일링 근거의 추론에 의존한다.
• 모든 ε > 0 에 대해, N 이 존재하여, 모든 j > N 과 r < N⁻¹ 에 대해, 스케일링된 거리 구와 표준 구 사이의 내재 평탄한 거리는 ε 보다 작다.
• 내재 평탄한 의미에서 거리 구가 원점으로 수렴하지 않는 반경 r 의 측도는 min{N⁻¹, δ} > 0 에 의해 하한이 둔다. 이는 수렴에 모순되며, 주장이 증명됨을 보여준다.