[논문 리뷰] Intrinsic Flat Stability of Manifolds with Boundary where Volume Converges and Distance is Bounded Below

Brian Allen, Raquel Perales|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 23.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 19인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 경계를 가진 리만다이니언 다발의 체적 보존 내재 평탄한 수렴을 위한 충분한 기하 조건을 확립한다. 균일한 지름 유계, 국소 거리 지배, 체적 수렴, 및 $L^{(m-1)/2}$ 경계 거리 수렴 조건 하에서, 수열은 체적을 보존하면서 내재 평탄하게 수렴하며, 이는 이전 결과를 경계가 없는 다발에서 경계가 있는 다발로 확장한 것이다.

ABSTRACT

Given a compact, connected, and oriented manifold with boundary $M$ and a sequence of smooth Riemannian metrics defined on it, $g_j$, we prove volume preserving intrinsic flat convergence of the sequence to the smooth Riemannian metric $g_0$ provided $g_j$ always measures vectors strictly larger than or equal to $g_0$, the diameter of $g_j$ is uniformly bounded, the volume of $g_j$ converges to the volume of $g_0$, and $L^{\frac{m-1}{2}}$ convergence of the metrics restricted to the boundary. Many examples are reviewed which justify and explain the intuition behind these hypotheses. These examples also show that uniform, Lipschitz, and Gromov-Hausdorff convergence are not appropriate in this setting. Our results provide a new rigorous method of proving some special cases of the intrinsic flat stability of the positive mass theorem.

연구 동기 및 목표

• 경계가 없는 다발에서의 체적 보존 내재 평탄한 수렴 결과를 경계가 비어 있지 않은 다발으로 확장하기 위해.
• 내재 평탄한 수렴을 보장하는 최소한의 기하 가정—특히 거리 지배, 지름 유계, 체적 수렴, 경계 거리 수렴—을 규명하기 위해.
• 경계에 의해 유도되는 기하 복잡성으로 인해, 균일, 리프시츠 또는 그로모프-하우스도르프 수렴이 이 설정에서는 부족함을 보임을 보여주기 위해.
• 경계가 존재할 경우 내재 평탄한 안정성의 특수 케이스를 증명하기 위한 엄밀한 프레임워크를 제공하기 위해.
• 내부에서 $L^{m/2}$ 거리 수렴과 체적 제어 조건이 만족될 경우, 경계 거리 수렴 조건을 면적 유계로 약화시킬 수 있음을 보여주기 위해.

제안 방법

• 거리 보존 사상에 의한 공통 메트릭 공간에의 맵핑을 통한 Sormani-Wenger의 적분 커런트 공간 프레임워크를 통한 내재 평탄한 수렴의 사용.
• 부드러운 아틀라스와 거리 지배 조건 $ (1 - 1/j)g_0 \leq g_j $를 이용한 $M_j$ 및 $M_0$ 위의 비라벨츠 차트 구축.
• 공통 메트릭 공간 $Z$로의 비교 사상 $\varphi_j: M_j \to Z$ 및 $\varphi_0: M_0 \to Z$ 정의를 통해 커런트의 평탄한 수렴 가능하게 하기.
• Ambrosio-Kirchheim의 정규 커런트 이론을 적용하여 $M_j$ 및 $M_0$와 관련된 커런트의 질량을 정의하고 비교하기.
• 차이 커런트 $T'$ 및 $T$의 질량을 통한 내재 평탄한 거리 추정: $T = \iota_{j\sharp}[[M_j \times [0,h_j]]]$ 및 $T' = \varphi_{j\sharp}[[M_j]] - \varphi_{0\sharp}[[M_0]] - \partial T$.
• 유계 $d_{\mathcal{F}}(M_j, M_0) \leq \mathbf{M}(T') + \mathbf{M}(T)$를 사용하여 평탄한 거리 제어: $\mathbf{M}(T) \leq h_j V$ 및 $\mathbf{M}(T') \leq 2V_j + A h_j$.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계가 있는 리만다이니언 다발 수열이 체적 보존 내재 평탄한 수렴을 하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 경계 효과—예를 들어 지오데식이 경계를 가로질러 가는 것—은 경계가 없는 경우와 비교해 내재 평탄한 수렴에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 $L^{(m-1)/2}$ 수렴이 내재 평탄한 수렴 정리에서 더 강한 수렴 가정을 대체할 수 있는가?
• RQ4 체적과 지름이 유계일 때, 내재 평탄한 수렴을 확보하기 위해 경계 거리에 요구되는 최소 정규성은 무엇인가?
• RQ5 내부에서 $L^{m/2}$ 거리 수렴이 성립할 경우, 경계 거리 수렴 가정을 어떻게 약화시킬 수 있는가?

주요 결과

• 거리 지배 조건 $ (1 - 1/j)g_0 \leq g_j $, 균일한 지름 유계 $ \operatorname{Diam}(M_j) \leq D $, 체적 수렴 $ \operatorname{Vol}(M_j) \to \operatorname{Vol}(M_0) $, 및 경계 거리의 $ L^{(m-1)/2} $ 수렴 조건 하에서, $ M_j \xrightarrow{\mathcal{VF}} M_0 $는 체적 보존 내재 평탄한 수렴을 이룬다.
• $L^{m/2}$ 수렴이 $g_j$ 에서 $g_0$ 로 성립하고 균일한 체적 유계가 있을 경우, 경계 거리 수렴 조건은 균일한 면적 유계 $ \operatorname{Vol}(\partial M_j) \leq A $로 대체될 수 있어 가정을 단순화시킬 수 있다.
• 내재 평탄한 거리는 $ d_{\mathcal{F}}(M_j, M_0) \leq \mathbf{M}(T') + \mathbf{M}(T) \leq 2V_j + A h_j + h_j V $로 유계가 되며, $ V_j \to V $ 이므로 거리는 0으로 수렴한다.
• 증명은 공통 메트릭 공간 $ Z $를 구성하고, 거리 보존 사상에 의한 $ M_j $ 및 $ M_0 $의 임bedding을 통해 $ Z $ 내에서 커런트를 비교함으로써 이루어진다.
• 경계 설정에서 경계 반사 지오데식으로 인해 실패하는 그로모프-하우스도르프 또는 균일 리프시츠 수렴을 요구하지 않아도 되므로 방법이 유리하다.
• 결과적으로 자연스러운 기하 제약 조건 하에서 경계 존재 시 내재 평탄한 안정성의 증명을 위한 새로운 엄밀한 도구를 제공한다.