[논문 리뷰] Intrinsic Square Function Characterizations of Hardy Spaces with Variable Exponents

Ciqiang Zhuo, Dachun Yang외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 20.

Advanced Harmonic Analysis Research참고 문헌 40인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 변수 지수 $H^{p(\bullet)}(\mathbb{R}^n)$에 대한 하드비 하스프레스 공간의 내재적 제곱함수 특성화를 수립한다. $p(\cdot)$에 대한 온건한 조건 하에 내재적 리틀우드-파일스 $g$-함수, 내재적 루신 면적 함수, 내재적 $g^*_{\lambda}$-함수 모두 $H^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$를 특성화함을 증명한다. 또한, 쌍대 공간 $\mathcal{L}_{1,p(\cdot),s}(\mathbb{R}^n)$에 대한 $p(\cdot)$-카르레손 측도 특성화도 포함한다. 결과적으로 고전적 특성화를 변수 지수 설정으로 확장하며, 최적의 범위 추정을 제공한다.

ABSTRACT

Let $p(\cdot):\ \mathbb R^n o(0,\infty)$ be a measurable function satisfying some decay condition and some locally log-Hölder continuity. In this article, via first establishing characterizations of the variable exponent Hardy space $H^{p(\cdot)}(\mathbb R^n)$ in terms of the Littlewood-Paley $g$-function, the Lusin area function and the $g_λ^\ast$-function, the authors then obtain its intrinsic square function characterizations including the intrinsic Littlewood-Paley $g$-function, the intrinsic Lusin area function and the intrinsic $g_λ^\ast$-function. The $p(\cdot)$-Carleson measure characterization for the dual space of $H^{p(\cdot)}(\mathbb R^n)$, the variable exponent Campanato space $\mathcal{L}_{1,p(\cdot),s}(\mathbb R^n)$, in terms of the intrinsic function is also presented.

연구 동기 및 목표

• 고전적 하드비 하스프레스 공간 특성화를 변수 지수 설정인 $H^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$로 확장하기.
• 내재적 제곱함수 특성화(내재적 $g$, $g^*_{\lambda}$, 내재적 루신 면적 함수)를 $H^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$에 대해 수립하기.
• 내재적 제곱함수를 사용하여 쌍대 공간 $\mathcal{L}_{1,p(\cdot),s}(\mathbb{R}^n)$를 $p(\cdot)$-카르레손 측도로 특성화하기.
• 기존의 가중치 및 무지엘라크-오르리츠 하스프레스 공간에 대한 결과를 변수 지수 경우로 일반화하기.

제안 방법

• 먼저, 고전적 제곱함수인 리틀우드-파일스 $g$-함수, 루신 면적 함수, $g^*_{\lambda}$-함수를 통해 $H^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$를 특성화한다.
• 그 다음, 이러한 제곱함수의 등가인 내재적 형태를 수립하고, $p(\cdot)$가 국소적으로 로그-하올더 연속이며 감쇠 조건을 만족할 경우 $H^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$와의 등가성을 증명한다.
• 원자 분해와 텐트 공간 기법을 사용하여 하스프레스 공간 $H^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$을 최대 함수 및 제곱함수 연산자들을 통해 텐트 공간 노름과 연결한다.
• 모든 $b \in \mathcal{L}_{1,p(\cdot),s}(\mathbb{R}^n)$에 대해 내재적 제곱함수 $\widetilde{A}_{(\alpha,\epsilon),s}(b)(x,t)$를 정의하고, $p(\cdot)$-카르레손 측도에 대한 유계성을 증명한다.
• 텐트 공간에서 플랑카렐 공식과 헬더 부등식을 적용하여 이중성 쌍대 $\int f \bar{b} \, dx$를 내재적 제곱함수 노름을 통해 유계화한다.
• 이중 분할과 큐브 멈춤 시간 추론을 사용하여 이중 큐브 위에서 내재적 제곱함수의 $L^2$-노름을 제어함으로써 $p(\cdot)$-카르레손 측도 조건을 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 내재적 제곱함수는 $p(\cdot)$에 대한 최소한의 조건 하에 변수 지수 하드비 하스프레스 공간 $H^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$를 특성화할 수 있는가?
• RQ2 내재적 $g^*_{\lambda}$-함수가 $H^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$를 특성화하는 데에 필요한 $\lambda$의 정확한 범위는 무엇인가?
• RQ3 내재적 제곱함수를 사용하여 쌍대 공간 $\mathcal{L}_{1,p(\cdot),s}(\mathbb{R}^n)$를 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ4 $p(\cdot)$-카르레손 측도 조건은 이중성 쌍대가 유계임에 대해 필수적이고 충분한가?

주요 결과

• 내재적 리틀우드-파일스 $g$-함수가 $p(\cdot)$가 국소적으로 로그-하올더 연속이고 감쇠 조건을 만족할 경우 $H^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$를 특성화한다.
• 내재적 $g^*_{\lambda}$-함수는 $\lambda > 2 + 2(\alpha + s)/n$일 때 $H^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$를 특성화하며, 문헌에서 알려진 최고의 범위와 일치한다.
• 내재적 루신 면적 함수도 $p(\cdot)$에 동일한 조건이 만족할 경우 $H^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$를 특성화한다.
• 쌍대 공간 $\mathcal{L}_{1,p(\cdot),s}(\mathbb{R}^n)$는 내재적 제곱함수 $\widetilde{A}_{(\alpha,\epsilon),s}(b)$에 대한 $p(\cdot)$-카르레손 측도 조건으로 특성화된다.
• $p(\cdot)$-카르레손 측도 노름 $\|d\mu\|_{p(\cdot)}$는 $n$, $p(\cdot)$, $\alpha$, $\epsilon$, $s$에만 의존하는 상수를 제외하고는 $b$의 $\mathcal{L}_{1,p(\cdot),s}(\mathbb{R}^n)$에서의 노름과 등가이다.
• 이중성 쌍대 $\int f \bar{b} \, dx$는 $\|f\|_{H^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)} \|d\mu\|_{p(\cdot)}$에 의해 유계이며, 이는 내재적 제곱함수를 통한 $H^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$와 $\mathcal{L}_{1,p(\cdot),s}(\mathbb{R}^n)$ 간의 이중성 관계를 확립한다.