[논문 리뷰] Introduction of a Quantum of Time ("chronon"), and its Consequences for Quantum Mechanics

Ruy Farias, Erasmo Recami|arXiv (Cornell University)|1997. 06. 27.

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한 줄 요약

이 논문은 비상대론적 양자역학을 유한차분 방정식으로 재구성하기 위해 기본적인 시간 단위인 크로노ン($\tau_0$)을 도입한다. 이로 인해 셰르레딩어, 하이젠베르크, 밀도 행렬 그림에서 새로운 표현이 유도되며, 핵심 결과로는 이산화된 양자역학이 지연된 형식을 통해 고갈되는 시스템(예: 흡수성 매질 내 입자)을 자연스럽게 기술하고, 렙톤의 이산 질량 스펙트럼을 도출함과 동시에, $\tau_0 \to 0$일 때에만 대칭 형식에서 표준 양자역학을 복원한다는 점이다. 이 접근법은 불안정 상태를 현상적으로 수명으로 모델링하는 비에르미트 효과 해밀토니안을 도입하여, 전하를 띤 입자에서의 비가역성과 복사 방출에 대한 새로운 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

In this review-article, we discuss the consequences of the introduction of a quantum of time tau_0 in the formalism of non-relativistic quantum mechanics (QM) by referring ourselves in particular to the theory of the "chronon" as proposed by P.Caldirola. Such an interesting "finite difference" theory, forwards --at the classical level-- a solution for the motion of a particle endowed with a non-negligible charge in an external electromagnetic field, overcoming all the known difficulties met by Abraham-Lorentz's and Dirac's approaches (and even allowing a clear answer to the question whether a free falling charged particle does or does not emit radiation), and --at the quantum level-- yields a remarkable mass spectrum for leptons. After having briefly reviewed Caldirola's approach, we compare one another the new Schroedinger, Heisenberg and density-operator (Liouville-von Neumann) pictures resulting from it. Moreover, for each representation, three (retarded, symmetric and advanced) formulations are possible, which refer either to times t and t-tau_0, or to times t-tau_0/2 and t+tau_0/2, or to times t and t+tau_0, respectively. It is interesting to notice that, e.g., the "retarded" QM does naturally appear to describe QM with friction, i.e., to describe dissipative quantum systems (like a particle moving in an absorbing medium). In this sense, discretized QM is much richer than the ordinary one. When the density matrix formalism is applied to the solution of the measurement problem in QM, very interesting results are met, so as a natural explication of "decoherence".

연구 동기 및 목표

• 기본 시간 간격 $\tau_0$인 크로노ン을 바탕으로 비상대론적 양자역학의 일관된 유한차분 공식화를 개발한다.
• 시간 이산화가 셰르레딩어, 하이젠베르크, 밀도 연산자 그림에 미치는 영향을 탐구하고, 지연, 대칭, 후행 형식을 비교한다.
• 지연 형식이 고갈되는 양자 시스템(예: 흡수성 매질 내 입자)을 자연스럽게 기술할 수 있음을 보여준다.
• 유한차분 진화 연산자를 유도하고, 연속 극한에서 비에르미트 해밀토니안과의 등가성을 보인다.
• 자유 입자, 조화 진동자, 수소 원자와 같은 물리적 시스템과 측정 문제에 이 형식을 적용하여 비가역성과 복사 방출에 대한 새로운 통찰을 도출한다.

제안 방법

• 기본 간격 $\tau_0$를 가진 이산 시간 격자를 도입하여 시간 진화의 유한차분 방정식을 유도한다.
• 시간 인덱스를 $t$와 $t \pm \tau_0$ 또는 $t \pm \tau_0/2$로 이동시켜 지연, 대칭, 후행 형식을 유도한다.
• 지연 경우의 시간 진화 연산자 $\hat{U}_{\text{ret}}(t,t_0) = \left(1 + \frac{i}{\hbar}\tau\hat{H}\right)^{-(t-t_0)/\tau}$를 구성한다.
• 진화 연산자를 $\tan^{-1}$ 및 $\ln$ 함수를 포함하는 지수 형태로 표현하고, 비에르미트 효과 해밀토니안 $\tilde{H} = \hat{\kappa} - i\hat{\nu}$와 연결한다.
• 유한차분 셰르레딩어 방정식을 도출하기 위해 파이만 경로 적분 접근법을 적용하고, 그 해를 연구한다.
• 밀도 행렬 형식을 사용하여 비가역성과 측정을 모델링하고, 지연 형식에서 상태 붕괴가 자연스럽게 나타남을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기본 시간 간격 $\tau_0$를 도입함으로써 셰르레딩어, 하이젠베르크, 밀도 행렬 그림의 표준 양자역학 공식화는 어떻게 변화하는가?
• RQ2 왜 $\tau_0 \to 0$ 극한에서 유일하게 대칭 형식만 표준 양자역학을 복원하는가? 지연 형식은 고갈되는 시스템을 어떻게 기술하는가?
• RQ3 유한차분 접근법은 사전에 비에르미트 해밀토니안을 도입하지 않고도 붕괴율과 수명을 포함한 불안정 상태의 현상학을 재현할 수 있는가?
• RQ4 조화 진동자와 수소 원자와 같은 시스템에서 이산 양자역학의 예측은 표준 양자역학과 어떻게 다를까?
• RQ5 지연 형식의 이산 양자역학은 내재된 시간 진화를 통해 비가역성과 측정 문제를 자연스럽게 설명할 수 있는가?

주요 결과

• 지연 형식의 이산 양자역학은 진화 연산자에 내재된 감쇠 항 덕분에 흡수성 매질 내 입자와 같은 고갈되는 양자 시스템을 자연스럽게 기술한다.
• 대칭 형식은 $\tau_0 \to 0$ 극한에서만 표준 양자역학을 복원하며, 지연 및 후행 형식은 그렇지 않다.
• 지연 경우의 진화 연산자는 $\hat{U}_{\text{ret}}(t,t_0) = \exp\left[-\frac{(t-t_0)}{2\tau}\ln\left(1+\frac{\tau^2\hat{H}^2}{\hbar^2}\right)\right]\exp\left[-i\frac{t-t_0}{\tau}\tan^{-1}\left(\frac{\tau\hat{H}}{\hbar}\right)\right]$로 표현되며, 이는 비에르미트 효과 해밀토니안과 연결된다.
• 불안정 상태의 수명 $\tau_L$은 지연 형식에서 $\tau_L = \frac{\tau}{\ln\left(1 + \frac{\tau^2 E_n^2}{\hbar^2}\right)}$로 유도되며, 붕괴율로부터 $\tau_0$를 현상적으로 추정할 수 있는 방법을 제공한다.
• 대칭 형식에서 임계 에너지 이상일 경우 $\hat{\nu}$는 $\hat{H}$에 대해 독립적이며 $\hat{\kappa}$는 비영이면서 에너지에 의존하는 값을 취하게 되어, 표준 시간 진화의 보존성 원리가 깨진다.
• 지연 진화를 통해 비가역성이 자연스럽게 설명되며, 진화 연산자 내 임시 항이 위상 일관성을 상실하게 하여 측정에서 상태 붕괴의 역학적 설명을 제공한다.