[논문 리뷰] Introduction to fractional Orlicz-Sobolev spaces

Elhoussine Azroul, Abdelmoujib Benkirane외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 31.

Nonlinear Partial Differential Equations인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 기존 정의 방식에서 발생하는 한계를 극복하기 위해 분수형 오르리치-소볼레프 공간의 새로운 정의를 제안하며, 오르리치 공간으로의 연속적이고 컴팩트한 포함관계를 증명한다. 주요 기여는 믹티-브라우더 정리에 기반하여 분수형 M-라플라스 연산자를 포함하는 비국소 문제에 대한 약한 해의 존재성과 유일성을 확립하는 것이다.

ABSTRACT

In this paper, we define the fractional Orlicz-Sobolev spaces, and we prove some important results of these spaces. The main result is to show the continuous and compact embedding for these spaces. As an application, we prove the existence and uniqueness of a solution for a non local problem involving the fractional M-Laplacian operator.

연구 동기 및 목표

• 기존 정의 방식에서 발생하는 특이 측도 $ \frac{dxdy}{|x-y|^N} $ 로 인한 분수형 오르리치-소볼레프 공간 정의의 수학적 과제를 해결하기 위해.
• 분수형 오르리치-소볼레프 공간의 개선된 정의를 제안하여 분석적 성질과 오르리치 공간 이론과의 호환성을 보장하기 위해.
• 새로운 분수형 오르리치-소볼레프 공간이 오르리치 공간으로의 연속적이고 컴팩트한 포함관계를 확립하기 위해.
• 이 포함관계 결과를 바탕으로 분수형 M-라플라스 연산자를 포함하는 비국소 문제에 대해 약한 해의 존재성과 유일성을 증명하기 위해.

제안 방법

• 특이 측도 $ \frac{dxdy}{|x-y|^N} $ 를 다루기 위해 $ M^{-1}(|x-y|^N) $ 를 포함하는 정규화를 사용하여 분수형 오르리치-소볼레프 공간의 새로운 정의를 제안한다.
• M(t) = t^p 일 때, 새로운 공간 $ W^sL_M(\Omega) $ 가 고전적 분수형 소볼레프 공간과 일치함을 증명하여 기존 사례와의 일관성을 확보한다.
• 도널드슨과 트루디셔너의 접근 방식을 도입하여 $ \Delta_2 $-정규성 조건 하에서 $ W^sL_M(\Omega) $ 가 오르리치 공간으로의 연속적이고 컴팩트한 포함관계를 확립한다.
• N-함수 $ m $ 의 도함수를 포함하는 비국소적, 비선형적, 비동차적 적분 연산자로 분수형 M-라플라스 연산자 $ (-\Delta)^s_m $ 를 정의한다.
• 연산자의 유계성, 연속성, 엄격한 단조성, 강한 강성 조건을 검증함으로써 믹티-브라우더 정리를 적용하여 약한 해의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 거의 어디에서나 0이 되는 함수들로 이루어진 닫힌 부분공간 $ \widetilde{W}^s_{0}L_M(\Omega) $ 에서, 노름 $ [\cdot]_{s,M} $ 을 갖춘 공간에서 작업함으로써 반사성과 분리 가능성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존 정의 방식에서 발생하는 특이 측도 $ \frac{dxdy}{|x-y|^N} $ 를 해결하기 위해 분수형 오르리치-소볼레프 공간을 어떻게 재정의할 수 있는가?
• RQ2 $ \Delta_2 $-정규성 조건 하에서 새로운 분수형 오르리치-소볼레프 공간의 오르리치 공간으로의 연속적이고 컴팩트한 포함 성질은 무엇인가?
• RQ3 새로운 프레임워크를 사용하여 분수형 M-라플라스를 포함하는 비국소 PDE에 대해 약한 해의 존재성과 유일성을 증명할 수 있는가?
• RQ4 M(t) = t^p 일 때, 새로운 분수형 오르리치-소볼레프 공간의 정의는 고전적 분수형 소볼레프 공간과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 새로운 분수형 오르리치-소볼레프 공간 정의는 관련 노름이 잘 정의되어 있으며, 대각선 근처의 특이 측도 문제를 피함을 보장한다.
• M 에 대한 $ \Delta_2 $-정규성 조건 하에서 공간 $ W^sL_M(\Omega) $ 는 오르리치 공간 $ L_M(\Omega) $ 으로 연속적이고 컴팩트하게 포함된다.
• 모든 $ u \in L_M(\Omega) $ 에 대해 극한 $ \lim_{s \to 1} (1-s) \int_{\mathbb{R}^N} \int_{\mathbb{R}^N} M\left( \frac{u(x)-u(y)}{|x-y|^s} \right) \frac{dxdy}{|x-y|^N} $ 이 존재하며, 이는 $ \int_{\mathbb{R}^N} \widetilde{M}(u(x)) dx $ 와 일치함을 보여, 분수형과 고전적 극한을 연결한다.
• 분수형 M-라플라스 연산자 $ (-\Delta)^s_m $ 는 $ \widetilde{W}^s_{0}L_M(\Omega) $ 에서 유계성, 연속성, 엄격한 단조성, 강한 강성을 갖는다.
• 모든 $ f \in (\widetilde{W}^s_{0}L_M(\Omega))^* $ 에 대해 문제 $ (-\Delta)^s_m u = f $ in $ \Omega $, $ u = 0 $ in $ \mathbb{R}^N \setminus \Omega $ 는 $ \widetilde{W}^s_{0}L_M(\Omega) $ 에서 유일한 약한 해를 갖는다.
• 강한 강성 조건은 파oincaré 유형 부등식과 $ M $ 의 볼록성에 기반하여 확립되며, 큰 $ \|u\|_{s,M} $ 에 대해 $ \frac{\langle (-\Delta)^s_m u, u \rangle}{\|u\|_{s,M}} \geq C \|u\|_{s,M}^{p_0 - 1} $ 를 만족한다.