[논문 리뷰] Introduction to Projective Arithmetics

Mark Burgin|arXiv (Cornell University)|2010. 10. 15.

Computability, Logic, AI Algorithms참고 문헌 15인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 가역 함수를 통해 덧셈과 곱셈을 재정의함으로써 기존(디오판틴) 산술을 일반화하는 비디오판틴 산술의 일족인 사영 산술을 소개한다. 함수 f를 통해 연산을 매개변수화함으로써 다양한 천연 및 사회적 현상을 모델링할 수 있는 일관된 산술 체계를 가능하게 하며, f(x) = x일 때 디오판틴 산술이 특수한 경우로 나타남을 보여준다. 주요 기여는 과학적 및 일상적 추론의 모순을 해결할 수 있는 수학적으로 엄밀한 대체 산술 체계의 기초를 마련한 데 있다.

ABSTRACT

Science and mathematics help people to better understand world, eliminating many inconsistencies, fallacies and misconceptions. One of such misconceptions is related to arithmetic of natural numbers, which is extremely important both for science and everyday life. People think their counting is governed by the rules of the conventional arithmetic and thus other kinds of arithmetics of natural numbers do not exist and cannot exist. However, this popular image of the situation with the natural numbers is wrong. In many situations, people have to utilize and do implicitly utilize rules of counting and operating different from rules and operations in the conventional arithmetic. This is a consequence of the existing diversity in nature and society. To correctly represent this diversity, people have to explicitly employ different arithmetics. To make a distinction, we call the conventional arithmetic by the name Diophantine arithmetic, while other arithmetics are called non-Diophantine. There are two big families of non-Diophantine arithmetics: projective arithmetics and dual arithmetics (Burgin, 1997). In this work, we give an exposition of projective arithmetics, presenting their properties and considering also a more general mathematical structure called a projective prearithmetic. The Diophantine arithmetic is a member of this parametric family: its parameter is equal to the identity function f(x) = x. In conclusion, it is demonstrated how non-Diophantine arithmetics may be utilized beyond mathematics and how they allow one to eliminate inconsistencies and contradictions encountered by other researchers.

연구 동기 및 목표

• 자연수에 대해 기존 산술이 유일한 타당한 체계라는 오해를 도전하기 위해.
• 가역 함수를 기반으로 한 비디오판틴 산술의 일족으로서 사영 산술을 체계화하기 위해.
• 디오판틴 산술이 이 광범위한 매개변수화된 프레임워크 내에서 특수한 경우로 어떻게 나타나는지 보여주기 위해.
• 사영 산술이 과학적 및 실용적 추론의 모순을 어떻게 해결할 수 있는지 보여주기 위해.
• 순수 수학을 초월해 비디오판틴 산술을 적용할 수 있는 기초를 마련하기 위해.

제안 방법

• 가역 함수 f를 사용해 사영 예산술을 정의함으로써, 기존의 표준 연산을 새로운 것으로 변환한다.
• 새로운 체계에서 덧셈과 곱셈을 f를 통해 구성함: a ⊕ b = f⁻¹(f(a) + f(b)) 및 a ⊗ b = f⁻¹(f(a) × f(b)).
• f가 충분히 매끄럽고 가역적이라면 결과 구조가 교환 법칙을 만족하는 가환 링의 공리를 충족함을 입증한다.
• 디오판틴 산술이 f(x) = x의 경우에 해당함을 보여주며, 이를 광범위한 가족 내에 통합한다.
• 매개변수 f를 사용해 다양한 적용 분야에 적합한 다양한 산술을 생성한다.
• 닫힘성과 분배법칙을 포함한 결과 체계의 대수적 및 구조적 성질을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자연수에 대해 디오판틴 산술 이외의 산술 체계를 일관되게 정의할 수 있는가?
• RQ2 함수적 변환을 통해 사영 산술이 어떻게 일반화된 산술을 이루는가?
• RQ3 결과 체계가 타당한 산술 체계가 되기 위해 함수 f가 충족해야 할 조건은 무엇인가?
• RQ4 디오판틴 산술이 사영 프레임워크 내에서 특수한 경우로 어떻게 나타나는가?
• RQ5 비디오판틴 산술은 과학적 및 실용적 추론의 모순을 어떻게 해결할 수 있는가?

주요 결과

• 사영 산술은 가역 함수 f에 의해 정의되는 비디오판틴 산술의 매개변수화된 일족이며, 디오판틴 산술은 f(x) = x에 해당한다.
• 사영 산술의 덧셈과 곱셈 연산은 f⁻¹(f(a) + f(b)) 및 f⁻¹(f(a) × f(b))를 통해 일관되게 정의되며, 대수적 구조를 유지한다.
• f가 매끄럽고 가역적이라면 결과 체계는 가환 링이 되어 수학적 일관성을 확보한다.
• 비디오판틴 산술은 기존 산술이 실패하는 자연 및 사회적 현상을 모델링할 수 있다.
• 해당 프레임워크는 분야에 적합한 산술 체계를 제공함으로써 과학 연구에서 발생하는 모순과 불일치를 해결할 수 있다.
• 사영 예산술은 사영 산술을 포함하는 더 일반적인 구조로 식별된다.