[논문 리뷰] Intuitionistic Fuzzy Banach Algebra

Bivas Dinda, Samanta, T. K.외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 09. 17.

Multi-Criteria Decision Making참고 문헌 12인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 소속도와 비소속도 정도를 모두 반영하도록 퍼지 노름 이론을 확장하여 인식론적 퍼지 바나흐 대수를 도입하며, 가역 원소와 위상적 영인자에 대한 기본 성질을 수립한다. 비가역 원소의 집합이 닫혀 있으며, 위상적 영인자는 반드시 비가역임을 증명하여 대수적 구조와 인식론적 퍼지 위상기하학을 연결한다.

ABSTRACT

Intuitionistic fuzzy Banach algebra is introduced and a few properties of it is studied. The properties of invertible elements and relation among invertible elements, open set, closed set are emphasized. Topological divisors of zero is defined and its relation with closed set are studied.

연구 동기 및 목표

• 소속도와 비소속도 정도를 모두 반영하는 인식론적 퍼지 노름을 도입하여 바나흐 대수 이론을 일반화한다.
• 인식론적 퍼지 바나흐 대수를 정의하고 그 위상적 및 대수적 성질을 연구한다.
• 이 퍼지 프레임워크 내에서 가역 원소, 열린/닫힌 집합, 위상적 영인자 간의 관계를 조사한다.
• 비가역 원소의 집합이 닫힌 부분집합을 이룬다는 것을 확립한다. 또한 위상적 영인자는 반드시 비가역임을 보인다.

제안 방법

• 연속적인 t-노름과 t-코노름을 사용하여 선형 대수에 인식론적 퍼지 노름을 정의하고, 소속도와 비소속도 정도에 대한 공리계를 만족시킨다.
• 주어진 노름 구조 하에서 완비된 인식론적 퍼지 노름 대수로서 인식론적 퍼지 바나흐 대수를 도입한다.
• 대수 내에서 열린 구를 통해 가역 원소를 특성화하고, 가역 원소의 집합이 열린다는 것을 보인다.
• 원소의 곱이 소속도와 비소속도 정도에서 0으로 수렴하지만 수열 자체는 0으로 수렴하지 않는 수열을 사용하여 위상적 영인자를 정의한다.
• 소속도와 비소속도 함수의 극한 조건을 사용하여 퍼지 의미에서의 0으로 수렴을 정의한다.
• 곱셈의 연속성과 모순에 기반하여 위상적 논증을 적용하여 위상적 영인자가 가역일 수 없음을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 바나흐 대수 이론을 소속도와 비소속도 정도를 모두 반영하는 인식론적 퍼지 노름으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 인식론적 퍼지 바나흐 대수에서 가역 원소와 비가역 원소의 집합은 어떤 위상적 성질을 갖는가?
• RQ3 이 퍼지 대수적 구조에서 위상적 영인자는 가역성과 닫힌 집합과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 가역 원소 집합 위에서의 역함수 사상은 강한 인식론적 퍼지 연속성을 갖는가?
• RQ5 비가역 원소의 집합은 인식론적 퍼지 위상에서 닫힌 집합으로 특성화될 수 있는가?

주요 결과

• 인식론적 퍼지 바나흐 대수에서 모든 가역 원소의 집합은 열린 부분집합을 이룬다. 왜냐하면 모든 가역 원소가 가역 원소 집합에 포함된 이웃을 갖기 때문이다.
• 모든 비가역 원소의 집합은 대수의 닫힌 부분집합이다. 그 이유는 그 여집합인 가역 원소 집합이 열려 있기 때문이다.
• 위상적 영인자는 반드시 비가역이다. 가역성을 가정하면 이러한 원소를 정의하는 수열 조건과 모순이 발생하기 때문이다.
• 가역 원소 집합에서 자신으로 가는 역함수 사상은 소속도와 비소속도 함수의 극한 추정을 통해 강한 인식론적 퍼지 연속성을 갖는다.
• 인식론적 퍼지 노름에 의해 유도된 위상은 소속도와 비소속도 정도에서의 수렴이 곱셈과 역함수의 대수적 연속성과 일치함을 보장한다.
• 위상적 영인자를 포함하는 곱의 소속도가 1로 수렴하고 비소속도가 0으로 수렴하는 극한 행동은 그 비가역성을 확인하며, 이를 일반 원소와 구별한다.