[논문 리뷰] Intuitionistic fuzzy {\psi}-{\phi}-contractive mappings and fixed point theorems in non-Archimedean intuitionistic fuzzy metric spaces

Bivas Dinda, T. K. Samanta외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 02. 10.

Fixed Point Theorems Analysis참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비아르키메데스 intuitionistic fuzzy metric 공간에서 intuitionistic fuzzy ψ-φ-수축 사상들을 도입하고, 두 개의 고정점 정리들을 수립한다: M-완비 공간에서의 intuitionistic fuzzy Banach 수축 정리와 일반적인 비아르키메데스 공간에서의 intuitionistic fuzzy Elelstein 수축 정리. 주요 기여는 소속도와 비소속도에 대한 연속적이며 비증가적인 ψ와 비감소적인 φ 함수를 사용하여 이러한 일반화된 수축 조건 하에서 고정점의 존재성과 유일성을 증명하는 데 있다.

ABSTRACT

In this paper intuitionistic fuzzy {\psi}-{\phi}-contractive mappings are introduced. Intuitionistic fuzzy Banach contraction theorem for M-complete non-Archimedean intuitionistic fuzzy metric spaces and intuitionistic fuzzy Elelstein contraction theorem for non-Archimedean intuitionistic fuzzy metric spaces by intuitionistic fuzzy {\psi}-{\phi}-contractive mappings are proved.

연구 동기 및 목표

• 연속적이며 비증가적인 ψ와 비감소적인 φ 함수를 사용하여 intuitionistic fuzzy ψ-φ-수축 사상들을 도입함으로써, fuzzy 수축 사상들을 일반화하는 것.
• M-완비 비아르키메데스 intuitionistic fuzzy metric 공간에서 intuitionistic fuzzy Banach 수축 정리를 수립하는 것.
• 일반적인 비아르키메데스 intuitionistic fuzzy metric 공간에서 intuitionistic fuzzy Elelstein 수축 정리를 증명하는 것.
• 이러한 일반화된 수축 조건 하에서 고정점의 존재성과 유일성을 입증하는 것.

제안 방법

• 두 조건을 통해 intuitionistic fuzzy ψ-φ-수축 사상들을 정의한다: μ(x,y,t) > 0 이면 ψ(μ(f(x),f(y),t)) ≥ μ(x,y,t), ν(x,y,t) < 1 이면 φ(ν(f(x),f(y),t)) ≤ ν(x,y,t).
• 연속적인 t-노름 ∗ 과 t-코노름 ⋄ 를 사용하여 수정된 삼각부등식을 갖는 비아르키메데스 intuitionistic fuzzy metric 공간을 정의한다.
• M-Cauchy 수열 정의와 수렴 조건을 적용하여, t → ∞ 일 때 μ(xₙ,x,t) → 1 이고 ν(xₙ,x,t) → 0 이 되도록 한다.
• 반복 수열 {fⁿ(x)} 가 수렴하여 f(y) = y 를 만족하는 극한 y 를 갖는 것으로 보여줌으로써 고정점 존재성을 증명한다.
• ψ와 φ의 연속성과 비아르키메데스 성질을 이용하여, 다수의 고정점이 존재할 경우 모순을 유도한다.
• 컴팩트 공간에서의 수열 수렴에 관한 레마 4.2 를 활용하여 f 하에서의 극한 보존성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적인 Banach 수축 원리가 일반화된 ψ-φ 수축 조건을 사용하여 intuitionistic fuzzy metric 공간으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 M-완비 비아르키메데스 intuitionistic fuzzy metric 공간에서의 intuitionistic fuzzy ψ-φ-수축 사상은 유일한 고정점을 갖는가?
• RQ3 Elelstein 유형의 수축 결과는 비아르키메데스 환경에서 intuitionistic fuzzy ψ-φ-수축 사상으로 일반화될 수 있는가?
• RQ4 ψ와 φ에 대한 어떤 조건이 이 프레임워크에서 수렴성과 고정점의 유일성을 보장하는가?

주요 결과

• M-완비 비아르키메데스 intuitionistic fuzzy metric 공간에서 intuitionistic fuzzy Banach 수축 정리가 증명되었으며, ψ-φ-수축 조건 하에서 고정점의 존재성과 유일성을 보장한다.
• 일반적인 비아르키메데스 intuitionistic fuzzy metric 공간에서 intuitionistic fuzzy Elelstein 수축 정리가 수립되었으며, 다시 한번 고정점의 유일성을 보장한다.
• 고정점의 유일성은 모순을 통해 입증된다: 두 개의 서로 다른 고정점이 존재한다고 가정할 경우, ψ와 φ 조건을 위반하는 엄격한 부등식이 유도된다.
• 반복 수열 {fⁿ(x)} 의 수렴성은 M-Cauchy 수열의 추론과 f 하에서의 극한 보존성에 의해 증명된다.
• 컴팩트 비아르키메데스 공간에서는 수렴하는 부분수열의 극한으로 고정점을 얻을 수 있으며, ψ와 φ의 연속성으로 인해 일관성이 보장된다.
• Abdul Mohamad 와 Dorel Mihet 의 이전 연구를 일반화하여, ψ와 φ 함수를 통해 더 넓은 범위의 수축 사상 클래스를 도입함으로써 결과를 일반화하였다.