[논문 리뷰] Intuitive Proof of Black-Scholes Formula Based on Arbitrage and Properties of Lognormal Distribution

Alexei Krouglov|ArXiv.org|2006. 12. 03.

Fuzzy Systems and Optimization참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유럽식 콜옵션의 블랙-숄즈 공식을 아웃리치 원리와 자산 수익률의 로그노멀 분포를 활용하여 직관적인 유도 방식으로 제시한다. 로그노말 랜덤 변수의 성질과 리스크 중립 가격 설정 원리를 활용함으로써, 저자께서는 블랙-숄즈 방정식에 대한 명확하고 비기술적인 접근을 제공하여, 학생들과 비수학 전문가들에게 기초 금융 모델을 더 쉽게 이해할 수 있도록 한다.

ABSTRACT

Presented is intuitive proof of Black-Scholes formula for European call options, which is based on arbitrage and properties of lognormal distribution. Paper can help students and non-mathematicians to better understand economic concepts behind one of the biggest achievements in modern financial theory.

연구 동기 및 목표

• 전문가가 아닌 이들에게 블랙-숄즈 옵션 가격 설정 공식을 접근하기 쉬운 직관적인 설명을 제공하는 것.
• 블랙-숄즈 공식이 아웃리치 논리와 자산 수익률의 로그노멀 행동에서 어떻게 자연스럽게 유도되는지 보여주는 것.
• 옵션 가격 설정 이론에서 금융적 직관과 수학적 형식주의 사이의 격차를 메우는 것.
• 고급 수학 교육을 받지 않은 학생들과 실무자들이 현대 금융경제학의 핵심 요소 중 하나인 블랙-숄즈 모델을 이해하는 데 쉽게 접근할 수 있도록 하는 것.

제안 방법

• 주가가 기하 브라운 motion을 따른다는 가정에서 출발하여, 수익률이 로그노멀 분포를 따른다는 것을 유도한다.
• 무위험 포지션을 구성하기 위해 아웃리치 원칙을 적용하여, 옵션에 대한 장위로 포지션과 기초 자산에 대한 단위로 포지션을 조합한다.
• 리스크 중립 측도 하에서 기대 수익을 계산하기 위해 로그노멀 분포의 모멘트 생성 함수를 사용한다.
• 동적 헤징과 리스크 중립 평가를 통해 블랙-숄즈 편미분 방정식을 도출한다.
• PDE의 해는 수익 지급의 기대값을 누적 정규분포 함수로 변환함으로써 도출된다.
• 최종 공식은 C = S₀N(d₁) − Xe⁻ʳᵀN(d₂)로 표현되며, 로그노멀 성질에 기반한 확률적 추론을 통해 유도된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기본적인 아웃리치 원리와 로그노멀 분포 성질만을 사용하여 블랙-숄즈 공식을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ2 주가의 로그노멀 분포와 블랙-숄즈 옵션 가격 설정 공식 사이의 직관적 연결 고리는 무엇인가?
• RQ3 고급 확률 미분 방정식 없이도 블랙-숄즈 모델을 확률적 직관에 기반해 이해할 수 있는가?
• RQ4 로그노멀 가정과 아웃리치 조건에서 리스크 중립 가격 설정은 어떻게 자연스럽게 도출되는가?

주요 결과

• 블랙-숄즈 공식은 고급 확률 미분 방정식을 피하고, 주가의 로그노멀 분포와 아웃리치 원칙만을 사용하여 도출된다.
• 유럽식 콜옵션의 기대 수익은 표준 정규분포의 누적분포함수를 통해 계산되며, 이는 주가 수익률의 로그노멀 변환에서 유래한다.
• 리스크 중립 측도는 로그노멀 분포의 모멘트 생성 함수를 사용함으로써 암묵적으로 구성된다.
• 최종 옵션 가격은 C = S₀N(d₁) − Xe⁻ʳᵀN(d₂)로 표현되며, d₁과 d₂는 로그노멀 모수와 무위험 금리로부터 유도된다.
• 유도 과정은 블랙-숄즈 공식이 로그노멀 가정 하에서 동적 헤징과 시장 완전성과 일관됨을 확인한다.