[논문 리뷰] Invariance measures of stochastic 2D Navier-Stokes equations driven by $\alpha$-stable processes

Zhao Dong, Lihu Xu외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 03. 27.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 8인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 레비 측도에 대한 순간 조건 (Hθ) 하에 일반적인 원통형 레비 과정, 특히 α-안정 분포를 포함하여, 2차원 스토케스틱 나비에-스토크스 방정식의 잘 정의됨을 확립한다. 에너지 추정과 보골리우보-크리로프 방법을 통해 불변 측도의 존재를 증명하며, 유한한 두 번째 모멘트를 갖지 않는 비가우시안, 점프 주도 터뷸런스 모델에 대한 고전 결과를 확장한다.

ABSTRACT

In this note we prove the well-posedness for stochastic 2D Navier-Stokes equation driven by general L\'evy processes (in particular, $\alpha$-stable processes), and obtain the existence of invariant measures.

연구 동기 및 목표

• 2차원 스토케스틱 나비에-스토크스 방정식의 잘 정의됨 이론을, 특히 두 번째 모멘트가 없는 α-안정 분포를 포함한 일반적인 레비 노이즈로 확장한다.
• 해당 비연속적이고 점프 주도 스토케스틱 PDE 시스템의 불변 측도 존재성을 확립한다.
• α-안정 노이즈에서 무한한 분산으로 인해 고전적 에너지 추정이 붕괴되는 문제를 해결하기 위해 새로운 θ-모멘트 추정을 도입한다.
• Hilbert 공간의 발산 없음 벡터장에서 원통형 레비 과정을 갖는 2차원 나비에-스토크스 방정식에 대해 엄밀한 경로 기반 해 이론을 제공한다.

제안 방법

• 레비 측도와 계수에 대해 θ ∈ (0,1] 에 대해 일반화된 모멘트 조건 (Hθ) 를 도입하여 H0에서 노이즈의 적분 가능성을 보장한다.
• H−1에서의 cadlag 경로에 대한 스토코로호드 위상(스코로호드 위상)을 사용하여 근사 수열의 약한 수렴과 컴팩트니를 다룬다.
• 앨도우스의 컴팩트니 기준과 수정된 보골리우보-크리로프 방법을 적용하여 불변 측도 존재성을 증명한다.
• 레비-이토 분해를 활용하여 원통형 레비 과정을 보정된 포아송 적분과 큰 점프의 합으로 표현한다.
• 에너지 방법과 헬더 부등식을 활용하여 (Hθ) 조건을 이용해 H0 및 H1 노름에서 사전 추정을 수립한다.
• 스코로호드 임bedding과 파투의 보조정리를 사용하여 근사 수열에서 극한을 취하고, 해가 법적으로 SPDE를 만족함을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 번째 모멘트가 없는 α-안정 레비 노이즈에 의해 영향을 받는 2차원 스토케스틱 나비에-스토크스 방정식이 잘 정의되는가?
• RQ2 노이즈가 순수하게 비연속적이고 비가우시안일 경우에도 해 과정이 불변 측도를 갖는가?
• RQ3 두 번째 모멘트가 없는 α-안정 노이즈를 다룰 수 있도록 고전적 에너지 추정 접근법을 어떻게 수정할 수 있는가?
• RQ4 레비 측도에 대한 어떤 모멘트 조건이 H0에서 해의 cadlag 버전 존재를 보장하는가?
• RQ5 불변 측도는 유일한가, 아니면 주어진 노이즈 조건 하에서 시스템이 에르고딕성을 보이는가?

주요 결과

• 조건 (Hθ) 하에, 일반적인 원통형 레비 과정에 의해 영향을 받는 2차원 스토케스틱 나비에-스토크스 방정식은 H0에서 유일한 강해를 가지며, cadlag 경로를 가진다.
• 해는 다음 사전 추정을 만족한다: E[sup_{s∈[0,t]} ||u_s||_θ^θ] + E[∫₀ᵗ ||∇u_s||₀² (||u_s||₀² + 1)^{1−θ/2} ds] ≤ C(1 + ||ϕ||₀^θ + t), 여기서 C는 Hθ와 θ에 의존한다.
• 고전적 보골리우보-크리로프 방법을 통해 (H₀, B(H₀)) 위에서의 불변 측도 µ 존재성이 사전 추정에 기반하여 확립된다.
• 불변 측도는 다음의 불변 성질을 만족한다: ∫ H₀ E[Φ(u_t(ϕ))] µ(dϕ) = ∫ H₀ Φ(ϕ) µ(dϕ) 모든 유계 가측 함수 Φ에 대해.
• (Hθ) 조건은 E||L_t||₀^θ < ∞ 를 보장하며, H₀에서 레비 과정의 cadlag 버전 존재를 보장한다.
• 증명은 D(R₊; H₋₁)에서의 컴팩트니, 약한 수렴, 그리고 스토코로호드 임베딩과 파투의 보조정리를 사용한 극한 취득에 기반하여 SPDE의 구조를 유지한다.