[논문 리뷰] Invariance of Convex Sets for Non-autonomous Evolution Equations Governed by Forms

Wolfgang Arendt, Dominik Dier외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 05.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 8인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 에르미트 형식에 의해 지배되는 비자율 진화방정식에서 닫힌 볼록집합의 불변성에 대한 새로운 기준을 수립한다. 만약 볼록집합 위로의 수직투영이 형식의 정의역을 보존하고, 형식과 외부 힘을 포함한 특정 부등식을 만족할 경우, 그 집합에 속한 해는 항상 그 집합에 머무른다. 주요 기여는 기존의 자율적이고 동차한 설정에서의 불변성 기준을 비자율적이고 비동차한 설정으로 확장한 것이다.

ABSTRACT

We consider a non-autonomous form $\\fra:[0,T]\ imes V\ imes V \ o \\C$ where $V$ is a Hilbert space which is densely and continuously embedded in another Hilbert space $H$. Denote by $\\A(t) \\in \\L(V,V')$ the associated operator. Given $f \\in L^2(0,T, V')$, one knows that for each $u_0 \\in H$ there is a unique solution $u\\in H^1(0,T;V')\\cap L^2(0,T;V)$ of $$\\dot u(t) + \\A(t) u(t) = f(t), \\, \\, u(0) = u_0.$$ %\\begin{align*} %&\\dot u(t) + \\A(t)u(t)= f(t)\\ %& u(0)=u_0. %\\end{align*} This result by J. L. Lions is well-known. The aim of this article is to find a criterion for the invariance of a closed convex subset $\\Conv$ of $H$; i.e.\\ we give a criterion on the form which implies that $u(t)\\in \\Conv$ for all $t\\in[0,T]$ whenever $u_0\\in\\Conv$. In the autonomous case for $f = 0$, the criterion is known and even equivalent to invariance by a result proved in \\cite{Ouh96} (see also \\cite{Ouh05}). We give applications to positivity and comparison of solutions to heat equations with non-autonomous Robin boundary conditions. We also prove positivity of the solution to a quasi-linear heat equation.

연구 동기 및 목표

• 비자율 진화방정식이 형식에 의해 지배될 때, 힐버트 공간 H의 닫힌 볼록부분집합 𝒞 ⊂ H에 대한 불변성의 충분조건을 수립하기 위해.
• 기존의 자율적 경우에서의 불변성 기준을 비자율적 및 비동차적 설정으로 확장하기 위해.
• 시간에 의존하는 포물형 편미분방정식의 로빈 경계조건을 가진 해의 양성과 비교성의 특성화를 제공하기 위해.
• 개발된 프레임워크를 사용하여 준선형 열방정식의 양성을 증명하기 위해.
• 비타당하지 않은 증명을 수정하고 일반화하기 위해 [DL88]에서 제시된 초기값 문제의 해의 양성에 관한 오류가 있는 증명을 수정하기 위해.

제안 방법

• 저자들은 힐버트 공간 V가 H에 조밀하고 연속적으로 포함되어 있는 비자율 닫힘 형식 𝔞(t,⋅,⋅)의 프레임워크 내에서 작업한다.
• 쌍대성 쌍 ⟨A(t)u, v⟩ = 𝔞(t, u, v)를 통해 연속형 연산자 A(t) ∈ ℒ(V, V′)를 정의한다.
• 리온스의 최대 정(regularity) 이론을 이용하여, 초기값 문제 ẋ(t) + A(t)x(t) = f(t), x(0) = x₀ 에 대해 u ∈ H¹(0,T; V′) ∩ L²(0,T; V) 에서의 해가 존재하고 유일함을 증명한다.
• 핵심 방법은 볼록집합 𝒞 위로의 수직투영 P를 포함하는 변분부등식을 유도하는 것으로, 모든 v ∈ V 에 대해 Re 𝔞(t, Pv, v−Pv) ≥ Re⟨f(t), v−Pv⟩ 를 요구한다.
• 초기 자료 x₀ ∈ 𝒞 이고 부등식이 성립할 경우, 모든 t ∈ [0,T] 에 대해 u(t) ∈ 𝒞 임을 증명한다.
• 증명은 리프시츠 연속성과 해의 복합 함수로 구성된 투영의 벡터값 버전의 소볼레프 포함 및 약한 도함수 특성에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 형식에 의해 지배되는 비자율 진화방정식의 해가 주어진 닫힌 볼록집합에 항상 머무르기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 기존의 자율적 시스템에 대한 불변성 기준을 비자율적 및 비동차적 설정으로 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ3 시간에 의존하는 포물형 편미분방정식의 비자율적 로빈 경계조건을 가진 해의 양성이 보장되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 불변성 기준을 사용하여 서로 다른 초기값 문제의 해들 사이의 비교 원리를 증명할 수 있는가?
• RQ5 f = 0 인 자율적 경우에서 불변성 기준은 필수적이고 충분한가?

주요 결과

• 논문은 새로운 충분조건을 수립한다: P(V) ⊆ V 이고 모든 v ∈ V 에 대해 Re 𝔞(t, Pv, v−Pv) ≥ Re⟨f(t), v−Pv⟩ 를 만족할 경우, u₀ ∈ 𝒞 이면 모든 t ∈ [0,T] 에 대해 u(t) ∈ 𝒞 임을 보였다.
• f = 0 인 경우, 이 기준은 자율적 경우에서 알려진 필요충분조건으로 줄어들며, [Ouh96]의 결과를 일반화한다.
• 이 기준은 해의 양성 조건을 특성화한다: u₀ ≥ 0 이고 f(t) ≥ 0 거의 모든 곳에서 성립할 경우, 모든 t ∈ [0,T] 에 대해 u(t) ≥ 0 이 되는 것은 오직 양의 원소 집합에 대해 형식이 불변 조건을 만족할 때에만 성립한다.
• 저자들은 양의 원소 집합에 대해 불변 조건을 검증함으로써 준선형 열방정식의 양성을 증명하였다.
• 비자율적 로빈 경계조건에 대한 적용은, 해의 양성과 비교성 조건이 모두 동일한 형식 기반 기준에 의해 특성화됨을 보여준다.
• 이 결과는 [DL88]에서 제시된 초기값 문제의 해의 양성에 관한 잘못된 증명을 수정하고, 군 이론의 맥락에서 일반화하였다.