[논문 리뷰] Invariance principles for conditioned Galton-Watson trees

Igor Kortchemski|arXiv (Cornell University)|2011. 10. 10.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 외부 분포가 무한 분산을 가지며 안정 분포의 영역에 속해 있을 때, 고정된 큰 수의 잎을 가진 임계 갈톤-워트슨 트리에 대한 불변 원리들을 수립한다. 이는 외부 분포가 무한 분산을 가지며 안정 분포의 영역에 속할 때, 스케일링된 루카시에비치 경로와 윤곽 함수가 엄밀히 안정적인 스펙트럴로 긍정적인 레비 과정의 산책과 그에 관련된 높이 함수로 수렴함을 보여주며, 이는 이전의 무한 분산 설정으로의 극한 정리 확장을 포함한다.

ABSTRACT

We are interested in the asymptotic behavior of critical Galton-Watson trees whose offspring distribution may have infinite variance, which are conditioned on having a large fixed number of leaves. We first find an asymptotic estimate for the probability of a Galton-Watson tree having $n$ leaves. Secondly, we let $t_n$ be a critical Galton-Watson tree whose offspring distribution is in the domain of attraction of a stable law, and conditioned on having exactly $n$ leaves. We show that the rescaled Lukasiewicz path and contour function of $t_n$ converge respectively to $X^{exc}$ and $H^{exc}$, where $X^{exc}$ is the normalized excursion of a strictly stable spectrally positive Levy process and $H^{exc}$ is its associated continuous-time height function. As an application, we investigate the distribution of the maximum degree in a critical Galton-Watson tree conditioned on having a large number of leaves. We also explain how these results can be generalized to the case of Galton-Watson trees which are conditioned on having a large fixed number of vertices with degree in a given set, thus extending results obtained by Aldous, Duquesne and Rizzolo.

연구 동기 및 목표

• 외부 분포가 무한 분산을 가지며, 고정된 큰 수의 잎을 가진 임계 갈톤-워트슨 트리의 渐近적 행동을 분석한다.
• 갈톤-워트슨 트리가 정확히 n개의 잎을 가지는 확률에 대한 渐近적 추정을 유도한다.
• 스케일링된 경로 및 윤곽 함수의 약한 수렴을 안정 산책과 그에 관련된 높이 함수로 보장한다.
• 이전의 알도스, 두크레스트, 리차졸로의 결과를 무한 분산 케이스로 확장하고, 특정 집합에 속한 도수로 조건화하는 데 응용한다.

제안 방법

• 외부 분포가 안정 분포의 영역에 속하는 임계 갈톤-워트슨 과정을 중심으로, 잎의 수로 조건화된 랜덤 트리 이론의 응용.
• 수형의 구조를 이산 경로 표현으로 사용하기 위해 루카시에비치 경로와 윤곽 함수의 적용.
• 루카시에비치 경로 및 윤곽 함수의 스케일링을 통해 엄밀히 안정적인 스펙트럴로 긍정적인 레비 과정의 산책으로 약한 수렴을 이끌어냄.
• 제한 과정으로서 정규화된 산책 $X^{\text{exc}}$ 와 그에 관련된 높이 함수 $H^{\text{exc}}$ 의 사용.
• 무한 분산과 안정 분포의 영역에 수렴하는 조건 하에서의 분포 수렴을 활용.
• 이전의 결과를 특정 집합에 속한 도수를 가진 정점의 수로 조건화된 트리로 일반화함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 외부 분포가 무한 분산을 가질 때, 임계 갈톤-워트슨 트리가 정확히 n개의 잎을 가지는 渐近적 확률은 무엇인가?
• RQ2 외부 분포가 무한 분산을 가지며, n개의 잎을 가진 갈톤-워트슨 트리의 스케일링된 루카시에비치 경로와 윤곽 함수는 n이 무한으로 갈수록 어떻게 행동하는가?
• RQ3 무한 분산과 안정 분포의 영역에 수렴할 조건 하에서, 스케일링된 경로 및 윤곽 함수의 제한 과정은 무엇인가?
• RQ4 큰 수의 잎을 가진 것으로 조건화했을 때, 임계 갈톤-워트슨 트리의 최대 도수의 행동은 어떻게 되는가?
• RQ5 수렴 결과는 특정 집합에 속한 도수를 가진 정점의 수로 조건화된 트리로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 외부 분포가 안정 분포의 영역에 속할 때, 임계 갈톤-워트슨 트리가 정확히 n개의 잎을 가지는 확률는 그 안정 분포에 따라 渐近적 추정이 가능하다.
• 조건화된 트리의 스케일링된 루카시에비치 경로는 $X^{\text{exc}}$로 약하게 수렴한다. 여기서 $X^{\text{exc}}$ 는 엄밀히 안정적인 스펙트럴로 긍정적인 레비 과정의 정규화된 산책이다.
• 스케일링된 윤곽 함수는 $H^{\text{exc}}$로 약하게 수렴한다. 여기서 $H^{\text{exc}}$ 는 $X^{\text{exc}}$ 와 관련된 연속 시간 높이 함수이다.
• 잎의 수가 n개로 조건화된 임계 갈톤-워트슨 트리에서 최대 도수의 분포는 n → ∞ 일 때 극한적으로 기술된다.
• 수렴 결과는 특정 집합에 속한 도수를 가진 정점의 수로 조건화된 트리로 일반화되었으며, 이는 이전의 알도스, 두크레스트, 리차졸로의 결과를 확장한다.
• $X^{\text{exc}}$ 와 $H^{\text{exc}}$ 의 제한 과정은 이러한 조건화된 갈톤-워트슨 트리의 스케일링 극한을 무한 분산 영역에서 보편적으로 묘사한다.