[논문 리뷰] Invariant Carnot-Caratheodory metrics on $S^3$, $SO(3)$, $SL(2)$ and lens spaces

Ugo Boscain, Francesco Rossi|ArXiv.org|2007. 09. 25.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 16인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 카르탕 분해와 칼링 형식에 의해 유도된 left-invariant sub-Riemannian 구조에 대해 $SU(2) \simeq S^3$, $SO(3)$, $SL(2)$에서의 전역 컷 궤적(global cut locus)을 계산한다. 지오데식선, 공액 궤적(conjugate loci), 그리고 카르노-카라테오도리 거리(Carnot-Caratheodory distance)에 대한 명시적 표현을 제공하며, 이 거리는 초등 함수의 역함수로 표현된다. $SU(2)$의 경우 컷 궤적은 한 점을 제외한 최대 원형(maximal circle)이며, $SO(3)$와 $SL(2)$의 경우 계층화된 집합(stratified sets)이다. 이는 헤이젠베르크 군을 초월하여 처음으로 전역 컷 궤적을 명시적으로 계산한 사례이다.

ABSTRACT

In this paper we study the invariant Carnot-Caratheodory metrics on $SU(2)\simeq S^3$, $SO(3)$ and $SL(2)$ induced by their Cartan decomposition and by the Killing form. Beside computing explicitly geodesics and conjugate loci, we compute the cut loci (globally) and we give the expression of the Carnot-Caratheodory distance as the inverse of an elementary function. We then prove that the metric given on $SU(2)$ projects on the so called lens spaces $L(p,q)$. Also for lens spaces, we compute the cut loci (globally). For $SU(2)$ the cut locus is a maximal circle without one point. In all other cases the cut locus is a stratified set. To our knowledge, this is the first explicit computation of the whole cut locus in sub-Riemannian geometry, except for the trivial case of the Heisenberg group.

연구 동기 및 목표

• 세 차원 단순 리 군: $SU(2)$, $SO(3)$, $SL(2)$에서 left-invariant sub-Riemannian 구조의 컷 궤적 전역 구조를 규명하는 것.
• 항등원에서의 카르노-카라테오도리 거리를 초등 함수의 역함수로 계산하는 것.
• $SU(2)$ 메트릭이 렌즈 공간들 $L(p,q)$에 어떻게 투영되는지 분석하고, 그들의 컷 궤적을 계산하는 것.
• 헤이젠베르크 군의 경우를 제외한 sub-Riemannian 기하학에서 전체 전역 컷 궤적을 계산하는 데 오랫동안 미해결된 문제를 해결하는 것.

제안 방법

• 리 대수 $\mathfrak{g} = \mathfrak{k} \oplus \mathfrak{p}$의 카르탕 분해와 칼링 형식을 이용하여 $SU(2)$, $SO(3)$, $SL(2)$에서 left-invariant sub-Riemannian 메트릭을 정의한다.
• 지오데식선을 지수 함수 $\mathrm{Exp}(\theta, c, t) = e^{(A_k + A_p)t}e^{-A_k t}$로 매개변수화하며, 여기서 $A_p \in \mathfrak{p}$, $A_k \in \mathfrak{k}$, $\|A_p\| = 1$이다.
• 포트리아긴 최대원리(Pontryagin Maximum Principle)를 적용하여 지수함수로 표현 가능한 초등 함수의 형태로 적분 가능한 해밀토니안 시스템을 유도한다.
• 대칭성과 트레이스 분석을 활용하여 컷 점을 분류하고, 국소적, 대칭적, 비대칭적 컷 궤적을 구분한다.
• 지오데식 끝점 간의 비교를 위해 함수 $r(c,t) = \sqrt{(g_{11} - g_{22})^2 + (g_{12} + g_{21})^2}$를 사용하여 동시 지오데식선의 경우 $c^2 = d^2$임을 증명한다.
• $\frac{\sin p}{p}$와 $\frac{\sinh p}{p}$의 단사성(injectivity)을 분석하여 지오데식 끝점의 유일성을 도출하고, 불필요한 컷 점을 배제한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $SU(2)$에서 $\mathfrak{k} \oplus \mathfrak{p}$ sub-Riemannian 구조의 컷 궤적 전역 구조는 무엇인가요?
• RQ2 $SO(3)$와 $SL(2)$ 사이의 컷 궤적은 어떻게 다릅니다? 그 계층화된 구조는 어떻게 되나요?
• RQ3 $SU(2)$에서의 카르노-카라테오도리 거리는 초등 함수의 역함수로 표현될 수 있나요?
• RQ4 $SU(2)$의 sub-Riemannian 메트릭은 렌즈 공간들 $L(p,q)$에 어떻게 투영되며, 그 곳에서의 컷 궤적은 무엇인가요?
• RQ5 $SL(2)$에서 국소 컷 궤적과 대칭 컷 궤적의 합집합 외에 다른 컷 점이 존재합니까?

주요 결과

• $SU(2)$의 경우 컷 궤적은 항등원을 제외한 최대 원형 $S^1$이며, 이는 첫 번째 공액 궤적에 해당한다.
• $SO(3)$의 경우 컷 궤적은 $\mathbb{R}P^2$와 한 점을 제외한 원형 $S^1$이 한 점에서 붙어 있는 계층화된 집합이다.
• $SL(2)$의 경우 컷 궤적은 $\mathbb{R}^2$와 한 점을 제외한 원형 $S^1$이 한 점에서 붙어 있는 계층화된 집합이다.
• $SU(2)$에서의 sub-Riemannian 거리는 $\beta = 0$이면 $d(g,\mathrm{Id}) = 2\sqrt{\arg(\alpha)(2\pi - \arg(\alpha))}$로 주어지고, 그 외의 경우 $\psi(\alpha)$로 주어지며, $\psi$는 초등 함수의 역함수이다.
• $SL(2)$에서는 $r(c,t)$의 단사성과 트레이스 기반 대칭성 추론을 통해 $K^{\mathrm{sym}}_{\mathrm{Id}} \cup K^{\mathrm{loc}}_{\mathrm{Id}} \cup \{\mathrm{Id}\}$ 외의 컷 점이 존재하지 않음을 보였다.
• $SL(2)$의 컷 궤적은 $K^{\mathrm{sym}}_{\mathrm{Id}} \cup K^{\mathrm{loc}}_{\mathrm{Id}}$로 확인되었으며, 여기서 $K^{\mathrm{loc}}_{\mathrm{Id}}$는 일차원 계층, $K^{\mathrm{sym}}_{\mathrm{Id}}$는 이차원 계층이다.