[논문 리뷰] Invariant Gibbs measures and global strong solutions for nonlinear Schrödinger equations in dimension two

Yu Deng, Andrea R. Nahmod외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 18.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 63인용 수 28

한 줄 요약

이 논문은 2차원 토러스 위에서 위그-순서화된 다항비선형성(차수 $2r+1$, $r \geq 1$)을 가진 비집합 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대해, 그의 유일한 극한이 위그-측도에 거의 확실히 존재함을 증명함으로써, 큐빅 케이스에 대한 부르간의 결과를 고차 비선형성으로 확장하여 거의 확실한 전역 적합성과 위그 측도의 불변성을 확립한다.

ABSTRACT

We consider the defocusing nonlinear Schrödinger equation on $\mathbb{T}^2$ with Wick ordered power nonlinearity, and prove almost sure global well-posedness with respect to the associated Gibbs measure. The heart of the matter is the uniqueness of the solution as limit of solutions to canonically truncated systems. The invariance of the Gibbs measure under the global dynamics follows as a consequence. The proof relies on the novel idea of random averaging operators.

연구 동기 및 목표

• 차수 $2r+1$, $r \geq 2$인 위그-순서화된 비선형성을 가진 $\mathbb{T}^2$ 위의 비집합 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대해, 큐빅 케이스에 대한 부르간의 결과를 확장하여 거의 확실한 전역 강한 해를 확립한다.
• 해의 사상이 위그 측도에 거의 확실히 유한 차원 절단 시스템의 해들의 유일한 극한임을 증명한다.
• 방정식의 전역 동역학 하에서 위그 측도의 불변성을 확립한다.
• 오와 톰안의 이전의 거의 확실한 약한 해 프레임워크를 기반으로 하여 고차 비선형성에 대해 해의 유일성을 확보하는 열린 문제를 해결한다.

제안 방법

• 위그 측도 $\mathrm{d}\mu = Z^{-1} e^{-V[u]} \, \mathrm{d}\rho$를 가중치가 부여된 위너 측도로 구성한다. 여기서 $V[u]$는 위그-순서화된 비선형성에서 유도된 절단된 잠재 에너지이다.
• 스펙트럼 프로젝션 $\Pi_N$ 과 절단된 위그 거듭제곱 $W_N^{2r+1}$을 사용하여 유한 차원 절단 시스템 (1.7)을 정의하고, 각 $N$에 대해 적합성을 보장한다.
• 절단된 흐름과 전체 흐름 간의 차이에 대한 정교한 추정을 통해, 각 $t \in \mathbb{R}$ 에서 $u_N(t)$ 가 $H^{0-}(\mathbb{T}^2)$ 에서 거의 확실히 한 개의 극한 $u(t)$ 로 수렴함을 증명한다.
• 게이지 변환 기법과 장기 안정성 추정을 적용하여, 절단된 흐름 $\Phi_t^N$ 과 전체 흐름 $\Phi_t$ 사이의 오차를 제어하며, 오차는 $N^{-1+\gamma}(\log N)^{\alpha+K}$ 의 속도로 감소한다.
• 절단된 위그 측도 $\mathrm{d}\mu_N^\circ$ 의 수렴성과 흐름의 수렴성을 이용하여, 근사화와 컴actness 추론을 통해 측도 불변성을 확립한다.
• Radon-Nikodym 도함수 $e^{-V[u]}$ 가 모든 $q < \infty$ 에 대해 $L^q(\mathrm{d}\rho)$ 에 속한다는 사실을 활용하여, 위그 측도가 잘 정의되고 위너 측도와 절대 연속임을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 차수 $2r+1 \geq 5$ 인 고차 비선형성을 가진 $\mathbb{T}^2$ 위의 비집합 비선형 슈뢰딩거 방정식은 위그 측도에 대해 거의 확실한 전역 강한 해를 갖는가?
• RQ2 방정식의 해는 유한 차원 절단 시스템의 해들의 거의 확실한 유일한 극한인가?
• RQ3 전역 해 사상은 위그 측도를 보존하는가, 즉 측도는 동역학 하에서 불변인가?
• RQ4 오와 톰안의 이전의 약한 해 프레임워크를 초월하여, $r \geq 2$ 인 경우 확률적 설정에서 해의 유일성을 확보할 수 있는가?
• RQ5 확률적 설정에서 절단된 해 $u_N(t)$ 가 전역 해 $u(t)$ 로 수렴하는 속도는 어떠한가?

주요 결과

• 비선형 슈뢰딩거 방정식 (1.1)의 해 $u(t)$ 는 시간에 대해 전역적으로 존재하며, 위그 측도 $\mathrm{d}\mu$ 에 대해 거의 모든 초기 조건 $u_{\text{in}}$ 에 대해 절단 시스템 (1.7)의 해들 $u_N(t)$ 의 유일한 극한이다.
• $u_N(t)$ 와 $u(t)$ 사이의 수렴은 모든 $t \in \mathbb{R}$ 에서 $H^{0-}(\mathbb{T}^2)$ 에서 성립하며, 오차 bound 는 $N^{-1+\gamma}(\log N)^{\alpha+K}$ 의 순서를 가지며, 여기서 $\gamma < 1$ 이고 초기 조건의 정(regularity)에 따라 달라진다.
• 위그 측도 $\mathrm{d}\mu$ 는 전역 흐름 $\Phi_t$ 에 대해 불변이며, 모든 Borel 집합 $E \subset \Sigma$ 와 모든 $t \in \mathbb{R}$ 에 대해 $\mu(\Phi_t^{-1}(E)) = \mu(E)$ 를 만족한다. 이는 근사화와 컴actness 추론을 통해 확립된다.
• 절단된 잠재 에너지 $V_N[u]$ 는 $W_N^{2r+2}(\Pi_N u)$ 의 극한을 통해 $V[u]$ 로 거의 확실히 수렴하며, 이는 한계에서 해밀토니언 구조가 유지됨을 보장한다.
• 해 사상 $\Phi_t$ 는 Borel 가측이며, $H^{-\varepsilon}(\mathbb{T}^2)$ 의 컴act 부분집합에서 시간에 대해 연속적이다. 이는 측도 불변성 증명에서 컴actness 추론을 사용할 수 있도록 한다.
• 증명은 해가 존재하고 유일한 초기 조건의 집합이 $\mu$-측도에서 전부임을 보여주며, 이는 $r \geq 2$ 에 대해 거의 확실한 전역 적합성을 확인한다.