[논문 리뷰] Invariant Gibbs measures for the 2-d defocusing nonlinear Schrödinger equations

Tadahiro Oh, Laurent Thomann|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 07.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 24인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 2차원 수축성 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대해, 콪 pact한 다각형 또는 R² 내의 유계 도메인에서 히르테 다항식과 라게르 다항식을 통한 위크 재정규화를 이용하여 고전적 거시적 측도를 구성한다. 초기 조건이 거시적 측도에 따라 분포될 때 시간에 관계없이 존재하는 해를 확립하고, 시간에 따라 진동하는 법이 항상 동일한 거시적 측도를 유지함을 증명한다.

ABSTRACT

We consider the defocusing nonlinear Schrodinger equations on the two-dimensional compact Riemannian manifold without boundary or a bounded domain in $\mathbb{R}^2$. In particular, we discuss the Wick renormalization in terms of the Hermite polynomials and the Laguerre polynomials and construct the Gibbs measures corresponding to the Wick ordered Hamiltonian. Then, we construct global-in-time solutions with initial data distributed according to the Gibbs measure and show that the law of the random solutions, at any time, is again given by the Gibbs measure.

연구 동기 및 목표

• 콤���트 리만 다각형 또는 R² 내의 유계 도메인에서 2차원 수축성 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대한 거시적 측도의 구성 방법을 확장한다.
• 재정규화를 위해 히르테 다항식과 라게르 다항식을 사용하여 위크 순서화 해밀토니안을 엄밀히 정의한다.
• 초기 조건이 거시적 측도에 따라 분포될 경우 시간에 관계없이 존재하는 해의 존재를 확립한다.
• 모든 시간 t에서 해의 법이 동일한 거시적 측도에 따라 분포됨을 증명하여 불변성을 입증한다.

제안 방법

• 힐버트 공간 위의 가우시안 측도의 맥락에서 히르테 다항식을 통한 위크 재정규화를 활용한다.
• 라게르 다항식을 적용하여 거시적 측도를 위크 순서화 해밀토니안의 형태로 표현한다.
• 재정규화된 해밀토니안 H_Wick에 대해 exp(−H_Wick)에 비례하는 확률 측도로서 거시적 측도를 구성한다.
• 2차원에서 비선형 항의 특이성을 다루기 위해 확률적 분석 및 PDE 기법을 활용한다.
• 정규화된 방정식의 수렴과 한계적 추론을 통해 비선형 슈뢰딩거 방정식의 흐름에 따른 거시적 측도의 불변성을 확립한다.
• 콤팩트 다각형에서 라플라스 연산자의 스펙트럼 이론과 관련된 히르테 전개에 의존하여 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 콤팩트 다각형 또는 R² 내의 유계 도메인에서 2차원 수축성 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대해 거시적 측도를 구성할 수 있는가?
• RQ2 히르테 다항식과 라게르 다항식을 통한 위크 순서화가 이 맥락에서 해밀토니안을 재정규화하는 데 어떻게 활용될 수 있는가?
• RQ3 초기 조건이 구성된 거시적 측도에 따라 분포될 경우 시간에 관계없이 존재하는 해가 존재하는가?
• RQ4 비선형 슈뢰딩거 방정식의 시간 진동에 따라 거시적 측도가 불변하는가?

주요 결과

• 히르테 다항식과 라게르 다항식 전개를 통해 위크 순서화 해밀토니안과 관련된 확률 측도로서 거시적 측도를 구성한다.
• 이 구성은 콤팩트 리만 다각형 또는 R² 내의 유계 도메인에서의 2차원 수축성 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대해 유효하다.
• 거시적 측도에 따라 추출된 거의 모든 초기 조건에 대해 시간에 관계없이 존재하는 해가 존재한다.
• 임의의 고정된 시간 t에서 해의 법이 동일한 거시적 측도에 따라 분포됨을 확인하여, 흐름에 따른 거시적 측도의 불변성을 확인한다.
• 정규화된 방정식과 법의 수렴을 포함하는 한계 절차를 통해 불변성이 확립된다.
• 결과적으로 거시적 측도가 비선형 슈뢰딩거 방정식의 역학에서 통계적 평형 성질을 가지는 것으로 나타난다.