[논문 리뷰] Invariant Hochschild cohomology of smooth functions

Lukas Miaskiwskyi|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 24.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 매니폴드 위의 매끄러운 함수의 호흐실드 코homology에서 리 군 작용에 대한 불변성을 조사하며, 코체인의 불변성과 코homology 클래스의 불변성 간의 차이를 명확히 한다. 적절한 군 작용의 경우 두 개념이 일치함을 증명하고, 불변 코homology가 불변 다중벡터장과 일치하는 불변 호흐실드-코스타ント-로젠버그 정리 수립한다.

ABSTRACT

Given an action of a Lie group on a smooth manifold, we discuss the induced action on the Hochschild cohomology of smooth functions, and notions of invariance on this space. Depending on whether one considers invariance of cochains or invariance of cohomology classes, two different spaces of invariants arise. We perform a general comparison of these notions, give an interpretation of the lower orders of the invariant cohomology spaces and conclude as our main result that for proper group actions both spaces are isomorphic. As a corollary and a geometric interpretation, an invariant version of the Hochschild-Kostant-Rosenberg theorem is given, identifying the cohomology of invariant cochains with invariant multivector fields. Using this theorem, we shortly discuss the invariant Hochschild cohomology in the case of homogeneous spaces.

연구 동기 및 목표

• 리 군 작용 하에서 호흐실드 코체인의 불변성과 호흐실드 코homology 클래스의 불변성 간의 차이를 명확히 하는 것.
• 불변 코체인의 코homology와 불변 코homology 클래스의 공간 간의 관계를 조사하는 것.
• 특히 적절한 군 작용의 경우 두 불변 공간이 동형이 되는 조건을 확립하는 것.
• 기하학적 해석을 위해 호흐실드-코스타ント-로젠버그 정리의 불변판을 제공하는 것.
• 결과를 동차 공간에 적용하고, 불변 코homology와 불변 다중벡터장 간의 관계를 규명하는 것.

제안 방법

• 코체인의 불변성(코체인 복합체 위의 군 작용을 통한)과 코homology 클래스의 불변성(코homology 위에 유도된 작용을 통한)이라는 두 가지 불변 개념을 도입한다.
• 두 불변 공간 사이의 자연스러운 준동형사상 $\iota: \mathrm{HH}^{\bullet}_G(\mathscr{A}, \mathsf{N}) \to \mathrm{HH}^{\bullet}(\mathscr{A}, \mathsf{N})^G$ 을 정의한다.
• 적절한 작용 하에서 불변 분할 단위의 존재를 이용해 코체인 위에 평균화 연산자를 구성함으로써 $\iota$ 의 단사성을 확보한다.
• 고전적 호흐실드-코스타ント-로젠버그 정리를 적용하여, 군 작용에 대한 제약 없이 $\iota$ 의 전사성을 도출한다.
• 반경분할과 국소적으로 유한한 분할 단위를 활용해, 평균화 사상의 연속성과 코체인의 국소적으로 유한한 합의 성립을 증명한다.
• 불변 다중벡터장의 코homology와 $\mathrm{HH}^{\bullet}_G(C^\infty(M))$ 를 식별함으로써 기하학적 해석을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 불변 코체인의 공간과 불변 코homology 클래스의 공간이 일치하는가?
• RQ2 군 작용은 매니폴드 위의 매끄러운 함수의 호흐실드 코homology에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 불변 코체인의 코homology는 미분기하학적으로 어떤 기하학적 의미를 갖는가?
• RQ4 적절한 군 작용에 대해 불변 호흐실드-코스타ント-로젠버그 정리를 수립할 수 있는가?
• RQ5 불변 코homology는 동차 공간의 기하학과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 매끄러운 매니폴드 $M$ 에서 적절한 리 군 작용이 존재할 경우, 자연스러운 사상 $\iota: \mathrm{HH}^{\bullet}_G(C^\infty(M)) \to \mathrm{HH}^{\bullet}(C^\infty(M))^{G}$ 는 동형사상이다.
• 불변 분할 단위의 존재 덕분에, 코체인 위에 평균화 연산자를 정의함으로써 이 동형사상이 가능해진다.
• 불변 코체인의 코homology는 불변 다중벡터장의 코homology와 동형이 되며, 이는 불변 호흐실드-코스타ント-로젠버그 정리를 도출한다.
• $\iota$ 의 전사성은 고전적 HKR 정리로부터 도출되며, 이는 군 작용에 대한 제약 조건이 없이 성립하지만, 단사성은 군 작용의 적절성에 의존한다.
• 반경분할과 컴팩트 고갈 기법을 활용해 평균화 사상의 연속성과 코체인의 국소적으로 유한한 합의 엄밀한 증명을 수행하였다.
• 결과는 대칭 위상공간의 변형 양자화에서 불변 변형의 유한차원 분류를 제공한다.