[논문 리뷰] Invariant Measures, Hausdorff Dimension and Dimension Drop of some Harmonic Measures on Galton-Watson Trees

Pierre Rousselin|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 23.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 표식이 부여된 갈튼-워슨 트리에서 명시적인 불변 측도를 구성하기 위한 대수적 조건을 제안하며, $\lambda$-편향 및 무작위 길이 랜덤 워크의 조화 측도의 하우스도르프 차원을 계산할 수 있도록 한다. 두 경우 모두 차원 감소 현상이 발생함을 입증하며, 이전 연구에서 비구성적인 결과에 그쳤던 조화 측도의 차원에 대해 명시적인 공식을 제공한다.

ABSTRACT

We consider infinite Galton-Watson trees without leaves together with i.i.d.~random variables called marks on each of their vertices. We define a class of flow rules on marked Galton-Watson trees for which we are able, under some algebraic assumptions, to build explicit invariant measures. We apply this result, together with the ergodic theory on Galton-Watson trees developed in \\cite{LPP95}, to the computation of Hausdorff dimensions of harmonic measures in two cases. The first one is the harmonic measure of the (transient) $\\lambda$-biased random walk on Galton-Watson trees, for which the invariant measure and the dimension were not explicitly known. The second case is a model of random walk on a Galton-Watson trees with random lengths for which we compute the dimensions of the harmonic measure and show dimension drop phenomenon for the natural metric on the boundary and another metric that depends on the random lengths.

연구 동기 및 목표

• 표식이 부여된 갈튼-워슨 트리에서 흐름 규칙의 클래스에 대해 함수 $\phi$에 대한 대수적 조건 하에 명시적인 불변 측도를 구성하기.
• 갈튼-워슨 트리에서의 에르고딕 이론을 확장하여 조화 측도의 하우스도르프 차원을 계산하기.
• $\lambda$-편향 갈튼-워슨 트리에서의 불변 측도 및 차원에 대한 명시적 공식의 부재를 해결하기.
• 갈튼-워슨 트리에서 무작위 간선 길이를 포함한 모델에서 차원 감소 현상 분석하기.

제안 방법

• 하나의 랜덤 레이의 전이 확률를 결정하기 위해 부분트리 위에 정의된 양함수 $\phi$를 사용하여 표식이 부여된 갈튼-워슨 트리에 흐름 규칙 정의하기.
• 갈튼-워슨 측도에 대해 절대연속인 명시적인 불변 측도의 존재를 보장하기 위해 $\phi$에 대한 충분한 대수적 조건 설정하기.
• [12]의 에르고딕 이론을 적용하여 불변 측도를 랜덤 워크의 조화 측도와 연결하기.
• 흐름 규칙에 의해 유도된 표식이 부여된 트리 위의 마코프 체인을 사용하여 장기적 행동과 차원 성질 분석하기.
• 균일 임의변수와 도전도 함수를 포함한 대칭성과 확률적 항등식을 활용하여 기댓값 계산하기.
• 톤엘리의 정리와 함수 $h(x,y,z) = \frac{xyz}{xy+yz+xz - x - y - z + 1}$를 포함한 함수 항등식을 이용하여 차원 공식의 일관성 검증하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 함수 $\phi$에 대한 대수적 조건 하에 표식이 부여된 갈튼-워슨 트리에서의 흐름 규칙에 대해 명시적인 불변 측도를 구성할 수 있는가?
• RQ2 초임계 갈튼-워슨 트리에서 $\lambda$-편향 랜덤 워크의 조화 측도에 대한 하우스도르프 차원은 무엇이며, 차원 감소 현상이 발생하는가?
• RQ3 갈튼-워슨 트리에서 무작위 간선 길이의 도입은 조화 측도의 하우스도르프 차원과 차원 감소 현상에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 $\lambda$-편향 랜덤 워크의 갈튼-워슨 트리에서의 불변 측도는 명시적으로 계산 가능한가, 그리고 조화 측도와의 관계는 어떠한가?
• RQ5 무작위 간선 길이를 포함한 모델에서 동일한 프레임워크를 사용하여 조화 측도의 차원을 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 함수 $\phi$에 대해 주어진 대수적 조건 하에 표식이 부여된 갈튼-워슨 트리에서 흐름 규칙의 클래스에 대해 명시적인 불변 측도를 구성한다.
• $\lambda$-편향 랜덤 워크가 초임계 갈튼-워슨 트리에서 작동할 경우, 조화 측도의 하우스도르프 차원을 명시적으로 계산하며, 차원 감소 현상이 확인된다.
• 무작위 간선 길이를 포함한 모델에서는 자연적 거리 척도와 길이에 의존하는 거리 척도 양쪽 모두에서 조화 측도가 차원 감소를 보인다.
• 조화 측도의 하우스도르프 차원이 전체 경계의 차원보다 엄격히 작다는 것을 보여줌으로써 차원 감소 현상이 정량적으로 특징지어진다.
• 균일 임의변수와 도전도의 대칭 함수를 포함한 확률적 항등식을 통해 유도된 차원 공식의 일관성 검증된다.
• 이 방법은 이전 연구에서 비구성적인 결과에 머물렀던 모델에서 차원을 계산하는 데 일반적인 프레임워크를 제공하며, 특히 $\lambda \neq 1$인 경우에 유용하다.